Замкнута множина: відмінності між версіями

[неперевірена версія]

Вилучено вміст Додано вміст

Лінійно

Версія за 18:53, 14 квітня 2009

За́мкнені мно́жини в математичному аналізі та функціональному аналізі — це множина, яка складається з усіх елементів універсальної множини, що не входять до даної відкритої множини (див. Доповнення множин).

Нехай дано топологічний простір $(X,{\mathcal {T}})$ . Множина $V\subset X$ называєтся замкненою відносно топології ${\mathcal {T}}$ , якщо існує відкрита множина $U\in {\mathcal {T}},$ така що $V=X\setminus U.$

Весь простір $X$ , а також порожня множина $\emptyset$ завжди замкнені.
Інтервал $[a,b]\subset \mathbb {R}$ замкнений в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите.
Множина $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ замкнена в просторі раціональних чисел $\mathbb {Q}$ , але не замкнене в просторі всіх дійсних чисел $\mathbb {R}$ .

Із аксіом означення топології випливає:

Інші властивості:

множина може бути ні закритою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в $\mathbb {R}$ , $[a,b)$ (при стандартній топології на $\mathbb {R}$ )
множина може бути і відкритою і закритою водночас - такими є всі підмножини в дискретній топології(де топологія - набір всіх підмножин даної множини)

С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.
Фихтенгольц (1954). Основы математического анализа. Москва: Радянська школа.
R.Wald, General Relativity

@@ Рядок 18: / Рядок 18: @@
 * обєдання скінченної кількості закритих множин є закритою множиною
 Інші властивості:
-* множина може бути ні закритою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в <math>\mathbb{R}</math>, <math>[a,b)</math> (при стандартній топології на <math>\mathbb{R}</math>)
+* множина може бути ні закритою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в <math>\mathbb{R}</math>, <math>[a,b)</math> (при [[топологія відкритих куль|стандартній]] топології на <math>\mathbb{R}</math>)
 * множина може бути і відкритою і закритою водночас - такими є всі підмножини в дискретній топології(де топологія - набір всіх підмножин даної множини)
 == Див. також ==