Характеристичний поліном

Характеристичний поліном квадратної матриці $\ A$ розміру $\ n\times n$ — це многочлен степені $\ n$ від змінної $\ \lambda ,$ який дорівнює

$\ p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A).$

Властивості

• Неважко переконатися, що

$p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}-\operatorname {tr} A\lambda ^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det A$

• Характеристичні поліноми подібних матриць співпадають:

$\ p_{B^{-1}AB}(\lambda )=p_{A}(\lambda )$

• Характеристичні поліноми добутку квадратних матриць не залежать від порядку множників:

$\ p_{BA}(\lambda )=p_{AB}(\lambda )$

Характеристичне рівняння

Характеристичним рівнянням (або секулярним рівнянням) називається рівняння

$\ p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=0$

Корені характеристичного полінома називаються характеристичними числами матриці $A.$

За теоремою Гамільтона-Келі вони і тільки вони є власними значеннями матриці $A.$

Дивись також

• Визначник матриці
• Слід матриці