Слід матриці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Слід матриці — операція, що відображає простір квадратних матриць у поле, над яким визначена матриця (див. функціонал).

Слід матриці — це сума усіх її діагональних елементів, тобто якщо елементи матриці , її слід дорівнює:

В математичних текстах зустрічається два позначення операції взяття сліду: (трейс, від англ. Trace — слід), і (шпур, від нім. Spur — слід).

Властивості[ред.ред. код]

  • Циклічність
,
,
де T означає операцію транспонування.

Внутрішній добуток[ред.ред. код]

Для матриці A розміром m на n з комплексними (чи дійсними) елементами, де A* позначає ермітово спряжену матрицю, маємо нерівність

яка перетворюється в рівність тоді і тільки тоді коли . Присвоєння

дає внутрішній добуток на просторі всіх комплексних (чи дійсних) матриць розміру m на n.

Норму яку отримують з вищенаведеного внутрішнього добутку називають нормою Фробеніуса, яка задовільняє властивість субмультиплікативності для норм матриць. Справді, це просто Евклідова норма якщо вважати матрицю вектором довжини mn.

Якщо A і B дійсні додатнонапівозначені матриці однакового розміру, то виконується рівність

Її можна довести використавши нерівність Коші — Буняковського.


Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]