Квадратне рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадра́тні рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду

ax^2 + bx + c = 0, \! де a\ne 0 \!.

Загальним розв'язком цього рівняння є формула

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

Загальні відомості[ред.ред. код]

Квадратні рівняння є різновидом рівнянь другого степеня з однією змінною. Числа \ a, b, c — його коефіцієнти, при чому \ a також називається першим коефіцієнтом, \ b — другим, \ c — вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння має

  • або два різних дійсних корені,
  • або два однакові дійсних корені (тобто, по суті, один),
  • або взагалі не має дійсних коренів, а має два комплексні корені.

(Зазвичай, коли кажуть, що коренів немає, то мається на увазі, що немає дійсних коренів: в такому разі обидва корені є комплексними. Вони позначаються як x_1 та x_2 або, якщо йдеться про обидва корені одночасно, то x_{1,2}. В деякій літературі зустрічається ще й таке позначення: x_+ і x_-..)

Неповні квадратні рівняння[ред.ред. код]

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю: якщо \ a = 0, то \ ax^2 + bx + c = 0 перетворюється у лінійне рівняння \ bx + c = 0. Якщо хоч один коефіцієнт \ b або \ c дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається непо́вним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

  • ax^2 = 0 \!;
  • ax^2 + bx = 0 \!;
  • ax^2 + c = 0 \!.

Розв'язування неповних квадратних рівнянь[ред.ред. код]

  • Рівняння виду ax^2 = 0 рівносильне рівнянню x^2 = 0 і тому завжди має тільки один корінь x = 0.
  • Рівняння виду ax^2 + bx = 0 розв'язується винесенням за дужки x: x(ax + b) = 0. Таке рівняння має два корені: x_1 = 0, x_2 = -b/a
  • Квадратне рівняння виду ax^2 + c = 0 рівносильне рівнянню x^2 = -c/a. Якщо -c/a > 0, воно має два дійсних розв'язки, якщо -c/a < 0 — жодного дійсного. Отже, якщо знаки коефіцієнтів різні, то -c/a додатне і рівняння має два корені. Якщо знаки коефіцієнтів однакові, число -c/a від'ємне і ax^2 + bx = 0 не має дійсних корен

Повне квадратне рівняння[ред.ред. код]

Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів a, b, c \! не дорівнює нулю.

Дискримінант[ред.ред. код]

Докладніше: Дискримінант

Повні квадратні рівняння розв'язуються за допомогою дискриміна́нта (лат. diskriminans — розрізняючий), який позначається латинською літерою D \!.

Помноживши обидві частини рівняння ax^2 + bx + c = 0 \! на 4a \!, дістанемо:

4a^2x^2 + 4axb + 4ac = 0 \!,
(2ax)^2 + 4axb + b^2 - b^2 + 4ac = 0 \!

і далі за формулою скороченого множення отримаємо

(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac \!.

Права частина цього виразу і є дискримінантом:

D = b^2 - 4ac \!

Розв'язування повних квадратних рівнянь[ред.ред. код]

Якщо D > 0\!, то квадратне рівняння рівносильне рівнянню (2ax + b)^2 = \left(\sqrt D \right)^2, звідки

2ax + b = \sqrt D,\qquad x=\frac{-b + \sqrt D}{2a},

або

2ax + b = -\sqrt D,\qquad x=\frac{-b - \sqrt D}{2a}.

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед \sqrt D \!. Коротко ці корені записують так:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}, де D = b^2 - 4ac \qquad (1). \!

Якщо D = 0 \!, то 2ax + b = 0 \!, звідки x = -\frac{b}{2a} — єдиний корінь (правильніше - два однакові корені)

У випадку, якщо дискримінант менший за нуль, то дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два комплексних корені за формулою (1) або, скориставшись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від'ємного числа:

x_{1,2} = \frac{-b \pm i \cdot \sqrt{-b^2 + 4ac}}{2a}.

Якщо коефіцієнти в рівнянні мають великі числові значення для уникнення довгих розрахунків можна скористатися формулою:

x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}, де :k = \frac{b}{2}.

Зведені квадратні рівняння[ред.ред. код]

Зведеними називаються такі квадратні рівняння, у яких перший коефіцієнт дорівнює одиниці — a = 1. Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити у зведене, іншими словами, звести його. Для цього треба обидві частини рівняння поділити на a\!:

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0. \!

Теорема Вієта[ред.ред. код]

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену. Для прикладу візьмемо зведене рівняння x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \! і позначимо \frac{b}{a} через p, \! а \frac{c}{a} через q. \! Тоді воно матиме такий вигляд:

x^2 + px + q = 0, \!

отже за теоремою Вієта:

x_1 + x_2 = -p, \!
x_1\cdot x_2 = q.

Доведення[ред.ред. код]

Якщо рівняння x^2 + px + q = 0 \! має корені x_1 \! і x_2, \! то їх можна знаходити за формулами:

x_1 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} і x_2 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}.

При додаванні та множенні коренів отримуємо відповідно:

x_1 + x_2 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} + \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} = -p,
x_1\cdot x_2 = \frac{(-p)^2 - (\sqrt{p^2 - 4q})^2}{4} = \frac{p^2 - (p^2 - 4q)}{4} = q.

Теорема обернена до теореми Вієта[ред.ред. код]

Якщо сума і добуток чисел m \! і n \! дорівнюють відповідно -p \! і q \!, то m \! і n \! — корені рівняння x^2 + px + q = 0 \!.

Використання теореми Вієта та оберненої до неї[ред.ред. код]

Використовуючи теорему Вієта можна перевіряти правильність розв'язання квадратних рівнянь. А користуючись оберненою теоремою, можна навіть усно розв'язувати більшість зведених рівнянь. Для прикладу розв'яжемо таке рівняння:

2x^2 + 16x + 14 = 0. \!

Щоб звести рівняння поділимо його на 2(незведене рівняння матиме корені -4 -28)

x^2 + 8x + 7 = 0. \!

Оскільки 7 (вільний член) — це добуток коренів рівняння, то коренями має бути пара чисел 7 та 1 або −7 та −1. Так як сума коренів дорівнює −8 (другий коефіцієнт з протилежним знаком), то шукана пара — −7 і −1. Отже:

x_1 = -7,\quad x_2 = -1.

Інші методи розв'язування[ред.ред. код]

Для знаходження коренів існують формули, які можуть стати в нагоді у деяких часткових випадках. Так, наприклад, формулу

x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^2 - q}

зручно використовувати при парному p. Її перевага полягає і в непотрібності окремого знаходження дискримінанта, що значно спрощує необхідні обчислення.

Також поширеною є формула

x_{1,2} = \frac{2c}{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}} \qquad (2),

але суттєвим її недоліком є неможливість отримати два корені при c = 0. Тобто у випадку відсутності вільного члена з допомогою неї не вдасться добути другий корінь (перший дорівнюватиме нулю). Цю проблему можна вирішити використовуючи змішаний вигляд вищезазначеної формули:

x_1 = \frac{-b - \sgn b \,\sqrt {b^2-4ac}}{2a},
x_2 = \frac{c}{ax_1},

де \sgn b — sign-функція. Цей спосіб розв'язування рівнянь дещо простіший за звичайний метод і позбавлений недоліку формули (2).

Аналітична геометрія[ред.ред. код]

Графік функції y = x2 − x − 2 перетинає вісь абсцис у точках з координатами, що дорівнюють кореням рівняння x2 − x − 2 = 0

Корені рівняння

ax^2 + bx + c = 0 \!

є також нулями функції

f(x) = ax^2 + bx + c. \!

В точках перетину її графіка з віссю абсцис значення x-координати дорівнюватиме кореням рівняння. У випадку, коли дискримінант цього рівняння більший нуля, графік перетинається з віссю у двох точках; коли D = 0, графік дотикається до неї в одній точці; якщо ж дискримінант менший за нуль, графік не перетинає вісь Ox взагалі.

Факторизація[ред.ред. код]

Ліва частина квадратного рівняння, яка також називається квадратним тричленом, може бути розкладена на множники за такою формулою:
ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \!, де x_1, x_2 \! — корені цього рівняння.

Рівняння, що зводяться до квадратних[ред.ред. код]

До квадратних можна звести біквадратне, а також будь-яке рівняння виду ax^{2n} + bx^n + c = 0, зробивши заміну t = x^n. Для прикладу розв'яжемо наступне рівняння:

3x^6 - 21x^3 + 30 = 0. \!

Зробимо заміну t = x^3:

3t^2 - 21t + 30 = 0. \!

Це звичайне квадратне рівняння, корені якого знайдемо за формулою (2):

t_1 = \frac{2 \cdot 30}{21 + \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 30}} = \frac{60}{21 + \sqrt{441 - 360}} = \frac{60}{30} = 2,
t_2 = \frac{2 \cdot 30}{21 - \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 30}} = \frac{60}{21 - \sqrt{441 - 360}} = \frac{60}{12} = 5.

Маючи значення t легко знайти корені початкового рівняння:

x_1 = \sqrt[3]{t_1} = \sqrt[3]{2},
x_2 = \sqrt[3]{t_2} = \sqrt[3]{5}.

Історія[ред.ред. код]

розв'язування рівнянь другої степені, в тому числі й квадратних, у стародавні часи була викликана потребою вирішувати проблеми пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Квадратні рівняння вміли вирішувати вавилоняни близько 2000 років до н.е. Серед клинописних текстів були знайдені приклади розв'язання неповних, а також часткових випадків повних квадратних рівнянь. Відомо, що їхні методи розв'язання майже збігаються із сучасними, проте невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цих методів: майже на всіх знайдених до того часу клинописних текстах збереглися лиш вказівки до знаходження коренів рівнянь, але не вказано, як вони були виведені. Однак, не зважаючи на розвинутість математики у ті часи, в цих текстах немає ані найменшої згадки про від'ємні числа і про загальні методи розв'язання рівнянь.

В стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язання повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

Правило знаходження коренів рівняння, зведеного до вигляду ax^2 + bx = c уперше дав індійський вчений Брахмагупта.

Аль-Хорезмі описав алгоритм для знаходження коренів всіх шести підвидів квадратного рівняння.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виводом формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язання квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Джерела інформації[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]