Квадратне рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Квадра́тне рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду

де ,

де x є невідомою змінною, а a, b, і c є сталими відомими числами, такими що a не дорівнює нулю 0. Якщо a = 0, тоді рівняння буде лінійним, а не квадратним рівнянням. Числа a, b, і c є коефіцієнтами рівняння, і аби розрізнити їх можна називати відповідно, квадратичним коефіцієнтом, лінійний коефіцієнтом і вільною сталою.[1]

Квадратне рівняння можна вирішити за допомогою процедури розкладання на множники, методу доповнення квадрату[en], за допомогою побудови графіка функції, або з використанням наступної формули, що є загальним розв'язком цього рівняння:

Рішення задачі, еквівалентної квадратному рівнянню були відомі ще в 2000 р. до н.е..

Історичні відомості про квадратні рівняння[ред. | ред. код]

Стародавній Вавилон

Уже в другому тисячолітті до нашої ери вавілоняни знали, як розв'язувати квадратні рівняння. Розв'язання їх в Стародавньому Вавилоні було тісно пов'язане з практичними завданнями, в основному такими, як вимірювання площі земельних ділянок, земельні роботи, пов'язані з військовими потребами; наявність цих знань також обумовлена розвитком математики та астрономії взагалі. Були відомі способи розв'язання як повних, так і неповних квадратних рівнянь.

Наведемо приклад квадратного рівняння, які розв'язувалися в Стародавньому Вавилоні, використовуючи сучасний алгебраїчний запис:

Правила розв'язування квадратних рівнянь багато в чому аналогічні сучасним, проте в вавилонських текстах не зафіксовано міркування, шляхом яких ці правила були отримані.

Індія

Завдання, які розв'язувалися за допомогою квадратних рівнянь, зустрічаються в трактаті з астрономії «Аріабхаттіам», написаним індійським астрономом і математиком Аріабхатою І в 499 році нашої ери. Один з перших відомих висновків формули коренів квадратного рівняння належить індійському вченому Брамагупті (близько 598 г.) [1]; Брамагупта виклав універсальне правило розв'язування квадратного рівняння, зведеного до канонічного вигляду: причому передбачалося, що в ньому всі коефіцієнти, крім , можуть бути від'ємними. Сформульоване вченим правило по своїй суті збігається з сучасним.

Загальні відомості[ред. | ред. код]

Квадратні рівняння є різновидом рівнянь другого степеня з однією змінною. Числа  — його коефіцієнти, при чому також називається першим коефіцієнтом,  — другим,  — вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння має

  • або два різних дійсних корені,
  • або два однакові дійсних корені (тобто, по суті, один),
  • або взагалі не має дійсних коренів, а має два комплексні корені.

(Зазвичай, коли кажуть, що коренів немає, то мається на увазі, що немає дійсних коренів: в такому разі обидва корені є комплексними. Вони позначаються як та або, якщо йдеться про обидва корені одночасно, то В деякій літературі зустрічається ще й таке позначення: і .)

Неповні квадратні рівняння[ред. | ред. код]

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю: якщо , то перетворюється у лінійне рівняння . Якщо хоч один коефіцієнт або дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається непо́вним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

  • ;
  • ;
  • .

Розв'язування неповних квадратних рівнянь[ред. | ред. код]

  • Рівняння виду рівносильне рівнянню і тому завжди має тільки один корінь .
  • Рівняння виду розв'язується винесенням за дужки : . Таке рівняння має два корені:
  • Квадратне рівняння виду рівносильне рівнянню . Якщо , воно має два дійсних розв'язки, якщо  — жодного дійсного. Отже, якщо знаки коефіцієнтів різні, то додатнє і рівняння має два корені. Якщо знаки коефіцієнтів однакові, число від'ємне і не має дійсних коренів.

Повне квадратне рівняння[ред. | ред. код]

Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів не дорівнює нулю.

Дискримінант[ред. | ред. код]

Докладніше: Дискримінант

Повні квадратні рівняння розв'язуються за допомогою дискриміна́нта (лат. diskriminans — розрізняючий), який позначається латинською літерою .

Помноживши обидві частини рівняння на , дістанемо:

,

і далі за формулою скороченого множення отримаємо

.

Права частина цього виразу і є дискримінантом:

Розв'язування повних квадратних рівнянь[ред. | ред. код]

Якщо , то квадратне рівняння рівносильне рівнянню , звідки

або

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед . Коротко ці корені записують так:

, де

Якщо , то , звідки  — єдиний корінь (точніше — два однакові корені)

У випадку, якщо дискримінант менший за нуль, то дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два комплексних корені за формулою (1) або, скориставшись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від'ємного числа:

Якщо коефіцієнти в рівнянні мають великі числові значення для уникнення довгих розрахунків можна скористатися формулою:

де :
Приклад:
У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед

Зведені квадратні рівняння[ред. | ред. код]

Зведеними називаються такі квадратні рівняння, у яких перший коефіцієнт дорівнює одиниці — . Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити у зведене, іншими словами, звести його. Для цього треба обидві частини рівняння поділити на :

Теорема Вієта[ред. | ред. код]

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену. Для прикладу візьмемо зведене рівняння і позначимо через а через Тоді воно матиме такий вигляд:

отже за теоремою Вієта:

Доведення[ред. | ред. код]

Якщо рівняння має корені і то їх можна знаходити за формулами:

і

При додаванні та множенні коренів отримуємо відповідно:

Теорема обернена до теореми Вієта[ред. | ред. код]

Якщо сума і добуток чисел і дорівнюють відповідно і , то і  — корені рівняння

Використання теореми Вієта та оберненої до неї[ред. | ред. код]

Використовуючи теорему Вієта можна перевіряти правильність розв'язання квадратних рівнянь. А користуючись оберненою теоремою, можна навіть усно розв'язувати більшість зведених рівнянь. Для прикладу розв'яжемо таке рівняння:

Щоб звести рівняння поділимо його на 2 (незведене рівняння матиме такі ж корені, як і зведене)

Оскільки 7 (вільний член) — це добуток коренів рівняння, то коренями має бути пара чисел 7 та 1 або −7 та −1. Так як сума коренів дорівнює −8 (другий коефіцієнт з протилежним знаком), то шукана пара — −7 і −1. Отже:

Інші методи розв'язування[ред. | ред. код]

Для знаходження коренів існують формули, які можуть стати в нагоді у деяких часткових випадках. Так, наприклад, формулу

зручно використовувати при парному p. Її перевага полягає в непотрібності окремого знаходження дискримінанта, що значно спрощує необхідні обчислення.

Також поширеною є формула

але суттєвим її недоліком є неможливість отримати два корені при . Тобто у випадку відсутності вільного члена з її допомогою не вдасться добути другий корінь (перший дорівнюватиме нулю). Цю проблему можна вирішити використовуючи змішаний вигляд вищезазначеної формули:

де  — sign-функція. Цей спосіб розв'язування рівнянь дещо простіший за звичайний метод і позбавлений недоліку формули (2).

Аналітична геометрія[ред. | ред. код]

Графік функції y = x2 − x − 2 перетинає вісь абсцис у точках з координатами, що дорівнюють кореням рівняння x2 − x − 2 = 0

Корені рівняння

є також нулями функції

В точках перетину її графіка з віссю абсцис значення x-координати дорівнюватиме кореням рівняння. У випадку, коли дискримінант цього рівняння більший нуля, графік перетинається з віссю у двох точках; коли , графік дотикається до неї в одній точці; якщо ж дискримінант менший за нуль, графік не перетинає вісь Ox взагалі.

Факторизація[ред. | ред. код]

Ліва частина квадратного рівняння, яка також називається квадратним тричленом, може бути розкладена на множники за такою формулою:
, де  — корені цього рівняння.

Доповнення до квадрату[ред. | ред. код]

В процесі доповнення до квадрату використовують алгебраїчне рівняння

яке визначає чітко визначений алгоритм, який можна використати для розв'язку квадратного рівняння.[2] Розпочнемо із квадратного рівняння наступної форми, ax2 + bx + c = 0

  1. Розділимо кожну його частину на a, коефіцієнт при квадратному члені рівняння.
  2. Віднімемо сталу c/a з обох частин рівняння.
  3. Додайте квадрат половини значення b/a, коефіцієнта при x, до обох частин рівняння. Це "доповнює квадрат", перетворюючи ліву частину у ідеальний квадрат.
  4. Перепишіть ліву частину у вигляді квадрата і спростіть праву частину при необхідності.
  5. Отримаємо два лінійні рівняння прирівнявши квадратний корінь у лівій частині ід додатнім і від'ємним квадратним коренями правої частини.
  6. Знайдемо розв'язок двох лінійних рівнянь.

Наведемо приклад роботи алгоритма, розв'язавши рівняння 2x2 + 4x − 4 = 0

Подвійний знак плюс-мінус "±" означає, що обидва варіанти x = −1 + 3 і x = −1 − 3 є розв'язками квадратного рівняння.[3]

Рівняння, що зводяться до квадратних[ред. | ред. код]

До квадратних можна звести біквадратне, а також будь-яке рівняння виду , зробивши заміну . Для прикладу розв'яжемо наступне рівняння:

Зробимо заміну :

Це звичайне квадратне рівняння, корені якого знайдемо за формулою (2):

Маючи значення легко знайти корені початкового рівняння:

Приклади і застосування[ред. | ред. код]

Траєкторія польоту при стрибанні з кручі у вводу параболічна, оскільки горизонтальне переміщення є лінійною функцією від часу , а вертикальне переміщення є квадратичною функцією від часу . В результаті, шлях буде задаватися квадратним рівнянням , де і  — горизонтальна і вертикальна компоненти початкової швидкості, a є гравітаційним прискоренням а h є початковою висотою. Значення a слід задавати від'ємним, оскільки напрям падіння (вниз) є протилежним до вимірювання висоти (вгору).

Золотий перетин можна знайти як додатній розв'язок квадратного рівняння .

Рівняння кола і інших конічних перетинів — еліпса, параболи, і гіперболи — є квадратними рівняннями двох змінних.

При відомому косинусі або синусі кута, знайти косинус або синус половини цього кута можна за допомогою вирішення квадратного рівняння.

Теорема Декарта стверджує, що для будь-яких чотирьох взаємно дотичних кіл, їх радіуси задовольнятимуть певному квадратному рівнянню.

Теоремою Фаусса визначається рівняння, яке задає співвідношення між радіусом кола вписаного в біцентричний чотирикутник і радіусом описаного кола та відстанню між центрами цих кіл. Рівняння можна представити у вигляді квадратного рівняння, в якому розв'язком буде відстань між двома центрами кіл із заданими радіусами. Іншим розв'язком того ж рівняння, при відповідних радіусах дасть відстань між центрами окресленого кола і зовнішнього кола екс-тангенціального чотирикутника[en].

Історія[ред. | ред. код]

Розв'язування рівнянь другого степеня, зокрема й квадратних, у стародавні часи було викликане потребою вирішувати проблеми пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Квадратні рівняння вміли розв'язувати вавилоняни близько 2000 років до н. е. Серед клинописних текстів було знайдено приклади розв'язування неповних, а також часткових випадків повних квадратних рівнянь. Відомо, що їхні методи розв'язання майже збігаються із сучасними, проте невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цих методів: майже на всіх знайдених до того часу клинописних текстах збереглися лише вказівки щодо знаходження коренів рівнянь, але не зазначено, як вони були виведені. Однак, незважаючи на розвинутість математики у ті часи, в цих текстах немає згадки про від'ємні числа і про загальні методи розв'язування рівнянь.

У стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язування повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

Правило знаходження коренів рівняння, зведеного до вигляду уперше дав індійський вчений Брахмагупта.

Аль-Хорезмі описав алгоритм знаходження коренів всіх шести підвидів квадратного рівняння.

Загальне правило розв'язування квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виведенням формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язування квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Protters & Morrey: " Calculus and Analytic Geometry. First Course"
  2. Washington, Allyn J. (2000). Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition. Addison Wesley Longman, Inc. ISBN 0-201-35666-X. 
  3. Sterling, Mary Jane (2010). Algebra I For Dummies. Wiley Publishing. с. 219. ISBN 978-0-470-55964-2. 

Література[ред. | ред. код]