Квадратне рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадра́тне рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду

де .

Загальним розв'язком цього рівняння є формула

Загальні відомості[ред.ред. код]

Квадратні рівняння є різновидом рівнянь другого степеня з однією змінною. Числа  — його коефіцієнти, при чому також називається першим коефіцієнтом,  — другим,  — вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння має

  • або два різних дійсних корені,
  • або два однакові дійсних корені (тобто, по суті, один),
  • або взагалі не має дійсних коренів, а має два комплексні корені.

(Зазвичай, коли кажуть, що коренів немає, то мається на увазі, що немає дійсних коренів: в такому разі обидва корені є комплексними. Вони позначаються як та або, якщо йдеться про обидва корені одночасно, то В деякій літературі зустрічається ще й таке позначення: і .)

Неповні квадратні рівняння[ред.ред. код]

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю: якщо , то перетворюється у лінійне рівняння . Якщо хоч один коефіцієнт або дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається непо́вним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

  • ;
  • ;
  • .

Розв'язування неповних квадратних рівнянь[ред.ред. код]

  • Рівняння виду рівносильне рівнянню і тому завжди має тільки один корінь .
  • Рівняння виду розв'язується винесенням за дужки : . Таке рівняння має два корені:
  • Квадратне рівняння виду рівносильне рівнянню . Якщо , воно має два дійсних розв'язки, якщо  — жодного дійсного. Отже, якщо знаки коефіцієнтів різні, то додатне і рівняння має два корені. Якщо знаки коефіцієнтів однакові, число від'ємне і не має дійсних коренів.

Повне квадратне рівняння[ред.ред. код]

Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів не дорівнює нулю.

Дискримінант[ред.ред. код]

Докладніше: Дискримінант

Повні квадратні рівняння розв'язуються за допомогою дискриміна́нта (лат. diskriminans — розрізняючий), який позначається латинською літерою .

Помноживши обидві частини рівняння на , дістанемо:

,

і далі за формулою скороченого множення отримаємо

.

Права частина цього виразу і є дискримінантом:

Розв'язування повних квадратних рівнянь[ред.ред. код]

Якщо , то квадратне рівняння рівносильне рівнянню , звідки

або

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед . Коротко ці корені записують так:

, де

Якщо , то , звідки  — єдиний корінь (правильніше - два однакові корені)

У випадку, якщо дискримінант менший за нуль, то дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два комплексних корені за формулою (1) або, скориставшись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від'ємного числа:

Якщо коефіцієнти в рівнянні мають великі числові значення для уникнення довгих розрахунків можна скористатися формулою:

де :

Зведені квадратні рівняння[ред.ред. код]

Зведеними називаються такі квадратні рівняння, у яких перший коефіцієнт дорівнює одиниці — . Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити у зведене, іншими словами, звести його. Для цього треба обидві частини рівняння поділити на :

Теорема Вієта[ред.ред. код]

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену. Для прикладу візьмемо зведене рівняння і позначимо через а через Тоді воно матиме такий вигляд:

отже за теоремою Вієта:

Доведення[ред.ред. код]

Якщо рівняння має корені і то їх можна знаходити за формулами:

і

При додаванні та множенні коренів отримуємо відповідно:

Теорема обернена до теореми Вієта[ред.ред. код]

Якщо сума і добуток чисел і дорівнюють відповідно і , то і  — корені рівняння .

Використання теореми Вієта та оберненої до неї[ред.ред. код]

Використовуючи теорему Вієта можна перевіряти правильність розв'язання квадратних рівнянь. А користуючись оберненою теоремою, можна навіть усно розв'язувати більшість зведених рівнянь. Для прикладу розв'яжемо таке рівняння:

Щоб звести рівняння поділимо його на 2 (незведене рівняння матиме такі ж корені, як і зведене)

Оскільки 7 (вільний член) — це добуток коренів рівняння, то коренями має бути пара чисел 7 та 1 або −7 та −1. Так як сума коренів дорівнює −8 (другий коефіцієнт з протилежним знаком), то шукана пара — −7 і −1. Отже:

Інші методи розв'язування[ред.ред. код]

Для знаходження коренів існують формули, які можуть стати в нагоді у деяких часткових випадках. Так, наприклад, формулу

зручно використовувати при парному p. Її перевага полягає і в непотрібності окремого знаходження дискримінанта, що значно спрощує необхідні обчислення.

Також поширеною є формула

але суттєвим її недоліком є неможливість отримати два корені при . Тобто у випадку відсутності вільного члена з допомогою неї не вдасться добути другий корінь (перший дорівнюватиме нулю). Цю проблему можна вирішити використовуючи змішаний вигляд вищезазначеної формули:

де  — sign-функція. Цей спосіб розв'язування рівнянь дещо простіший за звичайний метод і позбавлений недоліку формули (2).

Аналітична геометрія[ред.ред. код]

Графік функції y = x2 − x − 2 перетинає вісь абсцис у точках з координатами, що дорівнюють кореням рівняння x2 − x − 2 = 0

Корені рівняння

є також нулями функції

В точках перетину її графіка з віссю абсцис значення x-координати дорівнюватиме кореням рівняння. У випадку, коли дискримінант цього рівняння більший нуля, графік перетинається з віссю у двох точках; коли , графік дотикається до неї в одній точці; якщо ж дискримінант менший за нуль, графік не перетинає вісь Ox взагалі.

Факторизація[ред.ред. код]

Ліва частина квадратного рівняння, яка також називається квадратним тричленом, може бути розкладена на множники за такою формулою:
, де  — корені цього рівняння.

Рівняння, що зводяться до квадратних[ред.ред. код]

До квадратних можна звести біквадратне, а також будь-яке рівняння виду , зробивши заміну . Для прикладу розв'яжемо наступне рівняння:

Зробимо заміну :

Це звичайне квадратне рівняння, корені якого знайдемо за формулою (2):

Маючи значення легко знайти корені початкового рівняння:

Історія[ред.ред. код]

розв'язування рівнянь другої степені, в тому числі й квадратних, у стародавні часи була викликана потребою вирішувати проблеми пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Квадратні рівняння вміли вирішувати вавилоняни близько 2000 років до н.е. Серед клинописних текстів були знайдені приклади розв'язання неповних, а також часткових випадків повних квадратних рівнянь. Відомо, що їхні методи розв'язання майже збігаються із сучасними, проте невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цих методів: майже на всіх знайдених до того часу клинописних текстах збереглися лиш вказівки до знаходження коренів рівнянь, але не вказано, як вони були виведені. Однак, не зважаючи на розвинутість математики у ті часи, в цих текстах немає ані найменшої згадки про від'ємні числа і про загальні методи розв'язання рівнянь.

В стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язання повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

Правило знаходження коренів рівняння, зведеного до вигляду уперше дав індійський вчений Брахмагупта.

Аль-Хорезмі описав алгоритм для знаходження коренів всіх шести підвидів квадратного рівняння.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виводом формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язання квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Джерела інформації[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.