Кубічне рівняння

Кубі́чне рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду

$\ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$\ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$, де $\ a\neq 0$$\ a\neq 0$.

Для того, щоб отримати загальний розв'язок кубічного рівняння, потрібно його звести до канонічного вигляду

$\ z^{3}+pz+q=0.$$\ z^{3}+pz+q=0.$

Це можна зробити шляхом ділення рівняння на старший коефіцієнт $\ a,$$\ a,$ після чого провівши заміну змінної $x=z-{\frac {b}{3a}}.$$x=z-{\frac {b}{3a}}.$

При цьому коефіцієнти будуть рівні:

$q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}},$$q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}},$

$p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}.$$p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}.$

Метод Кардано

Введемо дві змінні $\ u$$\ u$ та $\ v$$\ v$, такі що

$\ z=u+v,$$\ z=u+v,$

підставивши їх в рівняння отримаємо

$\ u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.$$\ u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.$

введемо додаткову умову для змінних, а саме:

$\ 3uv+p=0,$$\ 3uv+p=0,$

підставивши її в рівняння, та використавши $uv=-{\frac {p}{3}},$$uv=-{\frac {p}{3}},$ отримаємо та розв'яжемо квадратне рівняння відносно $\ u^{3}$$\ u^{3}$ наступним чином:

$\ u^{6}+qu^{3}-{p^{3} \over 27}=0,\qquad u^{3}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {D}},\qquad D={q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}.$$\ u^{6}+qu^{3}-{p^{3} \over 27}=0,\qquad u^{3}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {D}},\qquad D={q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}.$

Всього є три розв'язки рівняння $\ z^{3}+pz+q=0,$$\ z^{3}+pz+q=0,$ один з них є

$z={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {D}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {D}}}}.$$z={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {D}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {D}}}}.$

Якщо $p,q\in \mathbb {R}$$p,q\in \mathbb {R}$ та:

• $\ D>0,$$\ D>0,$ то рівняння має один дійсний корінь і два комплексні.
• $\ D<0,$$\ D<0,$ то всі три корені рівняння є різними дійсними числами.
• $\ D=0,$$\ D=0,$ то всі корені рівняння є дійсними числами, при чому принаймні два з них є однаковими.

Приклад

Розв'яжемо рівняння $\ z^{3}-z=0,$$\ z^{3}-z=0,$ з очевидними коренями -1, 0, +1:

$D={0^{2} \over 4}+{-1^{3} \over 27}=-{1 \over 27}<0.$$D={0^{2} \over 4}+{-1^{3} \over 27}=-{1 \over 27}<0.$

Див. також

• Дискримінант
• Формула Кардано
• Рівняння четвертого степеня

Література

• Г. Корн, Т. Корн Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Москва : Наука, 1973. — 832 с.(рос.)
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 138—139.