Кубічне рівняння

Кубі́чне рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду

$\ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, де $\ a\ne 0$.

Для того, щоб отримати загальний розв'язок кубічного рівняння, потрібно його звести до канонічного вигляду

$\ z^3+pz+q=0.$

Це можна зробити шляхом ділення рівняння на старший коефіцієнт $\ a,$ після чого провівши заміну змінної $x=z-\frac{b}{3a}.$

При цьому коефіцієнти будуть рівні:

$q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a},$

$p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}.$

Метод Кардано

Введемо дві змінні $\ u$ та $\ v$, такі що

$\ z = u+v,$

підставивши їх в рівняння отримаємо

$\ u^3 + v^3 + (3uv+p)(u+v) + q = 0.$

введемо додаткову умову для змінних, а саме:

$\ 3uv + p = 0,$

підставивши її в рівняння, та використавши $uv=-\frac{p}{3},$ отримаємо та розв'яжемо квадратне рівняння відносно $\ u^3$ наступним чином:

$\ u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0, \qquad u^3 = -{q\over 2}\pm \sqrt{D}, \qquad D = {q^2\over 4}+{p^3\over 27}.$

Всього є три розв'язки рівняння $\ z^3+pz+q=0,$ один з них є

$z=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{D}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{D}}.$

Якщо $p,q \in \R$ та:

• $\ D>0,$ то рівняння має один дійсний корінь і два комплексні.
• $\ D<0,$ то всі три корені рівняння є різними дійсними числами.
• $\ D=0,$ то всі корені рівняння є дійсними числами, при чому принаймні два з них є однаковими.

Приклад

Розв'яжемо рівняння $\ z^3-z=0,$ з очевидними коренями -1, 0, +1:

$D = {0^2\over 4}+{-1^3\over 27} = -{1\over 27}<0.$

Див. також

• Дискримінант
• Формула Кардано
• Рівняння четвертого степеня

Література

• Г.Корн, Т.Корн (1973). Справочник по математике для научных работников и инженеров. Москва: Наука. с. 832. 
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 138—139.