Теорема Кебе про чверть
Теорема Кебе про чверть твердження у комплексному аналізі про властивості голоморфних однолистих функцій в одиничному крузі.
Образ однолистої функції f : D → C з відкритого одиничного круга D в комплексну площину містить відкритий круг з центром f(0) і радіусом |f′(0)|/4.
Нехай
є однолистою функцією у |z| < 1. Тоді
Розглянемо функцію Вона теж є однолистою на одиничному крузі.
Справді, якщо то також: тобто Оскільки — однолиста функція, то з останньої рівності випливає: тобто або або Остання ж гіпотеза суперечить умові бо внаслідок непарності функції мали б при цій гіпотезі Таким чином дійсно є однолистою функцією у одиничному крузі.
Тоді функція є однолистою у зовнішній області одиничного круга |z| > 1 і для цю функцію можна записати як суму ряду:
З теореми Ґронвала про площу і тому
Після застосування афінного відображення можна вважати
і розклад функції у ряд Тейлора має вид
Якщо w не належить f(D), то функція
є голоморфною однолистою у |z| < 1.
Застосування нерівності Бібербаха до h дає
і тому
- Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.
- Duren, P. L. (1983), Univalent functions, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, т. 259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5.
- Gong, Sheng (2014) [1999], The Bieberbach Conjecture, Studies in Advanced Mathematics, т. 12 (вид. Second), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2742-0.
- Hayman, W. K. (1994) [1958], Multivalent functions, Cambridge Tracts on Mathematics, т. 110 (вид. Second), Cambridge: Cambridge University Press, с. xii+263, ISBN 978-0-521-46026-2, MR 1310776, Zbl 0904.30001