Афінне перетворення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Афінне перетворення (лат. affinis, «пов'язаний з») — відображення f:\R^n\to \R^n, яке можна записати у вигляді

f(x) = M \cdot x + v,

де Mневироджена матриця і v\in \mathbb{R}^{n}.

Інакше кажучи, відображення називається афінним, якщо його можна отримати наступним способом:

  1. Обрати «новий» базис простору з «новим» початком координат v;
  2. Координатам x кожної точки простору поставити у відповідність нові координати f (x), які мають те саме положення в просторі відносно «нової» системи координат, яке координати x мали в «старій».

Представлення[ред.ред. код]

Зазвичай лінійна алгебра використовує матриці для представлення лінійних перетворень, і векторну суму для представлення паралельних перенесень. За допомогою розширеної матриці можливо представити і те, і те як матричний добуток. Ця техніка вимагає розширити всі вектори додаванням «1» в кінці, всі матриці розширюються додаванням рядка нулів знизу, і колонки — вектора переноса — справа, а також одиниці в нижній правий кут. Якщо A матриця,


\begin{bmatrix} \vec{y} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & \vec{b} \ \\ 0, \ldots, 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{x} \\ 1 \end{bmatrix}

те саме, що


\vec{y} = A \vec{x} + \vec{b}.

Таке представлення показує набір оборотних афінних перетворень як напівпрямий добуток Kn і GL(n, k). Афінні перетворення утворюють групу щодо операції композиції відображень. Ця група називається афінною групою.

Зазвичай матрично-векторний добуток завжди відображає початок координат на початок координат, і, таким чином, не може представляти перенесення, яке обов'язково переносить початок координат в іншу точку. Додаванням «1» до кожного вектора, вважаємо простір відображенним на підмножину простору з одним додатковим виміром. В цьому просторі, початковий простір займає підмножину в якій останній індекс 1. Таким чином початок координат початкового простору буде знаходитися в (0,0, … 0, 1). Перенесення всередині початкового простору в термінах лінійного перетворення простору з більшою кількістю вимірів стає можливим. Це є приклад однорідних координат.

Перевагою використання однорідних координат є те, що можливо комбінувати будь-яку кількість перетворень в одне шляхом перемноження матриць. Ця можливість використовується графічними програмами.

Властивості[ред.ред. код]

Зображення папороті, яке демонструє афінну самоподібність

Типи афінних перетворень[ред.ред. код]

  • Еквіафінне перетворення — афінне перетворення, що зберігає площу.
  • Центроафінне перетворення — афінне перетворення, що зберігає початок координат.

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

  • В наведенному вище визначенні афінного перетворення можна використовувати будь-яке поле, а не тільки поле дійсних чисел \R.
  • Відображення між метричними просторами називають афінним, якщо воно переводить геодезичні лінії в геодезичні лінії (з урахуванням параметризації).
  • Афінні перетворення простору \R^n є підмножиною проективних перетворювань того ж простору. В свою чергу, проективні перетворення простору \R^n можна представити як афінні перетворення простору \R^{n+1}.

Посилання[ред.ред. код]