Голоморфна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Голомо́рфна фу́нкція — комплексна функція, визначена на відкритій підмножині комплексної площини , що має комплексну похідну в кожній точці цієї множини. Голоморфність функції є досить сильною умовою. На відміну від випадку дійсних функцій, голоморфність означає, що функція є нескінченно диференційовною і рівна сумі свого ряду Тейлора в околі кожної точки.

В комплексному аналізі голоморфні функції також називають аналітичними і обидва терміни використовуються в літературі як синоніми. Проте поняття аналітичних функцій має зміст і для функцій дійсних змінних . Факт, що для комплексних функцій комплексної змінної множини голоморфних та аналітичних функцій є рівними є одним із головних результатів комплексного аналізу.

Означення[ред.ред. код]

Існує кілька рівнозначних способів означення голоморфних функцій, кожен з яких є дуже важливим у їх теорії і відіграв важливу роль в історії комплексного аналізу.

Через диференційовність функції[ред.ред. код]

Нехай позначає змінну комплексну величину, а відповідно її дійсна і уявна складові. Тоді комплексну функцію комплексної змінної можна записати як Тобто задання комплексної функції комплексної змінної рівнозначне заданню двох дійсних функцій двох дійсних аргументів. Подібна рівнозначність дає два можливих узагальнення поняття диференційовності на функції комплексної змінної.

Функцію визначену в деякому околі точки називають комплексно диференційовною в точці , якщо існує границя:

У цьому виразі границя береться по всіх послідовностях комплексних чисел, що сходяться до . Для всіх таких послідовностей даний вираз має сходитися до одного і того ж комплексного числа Дане визначення є природним узагальненням похідної дійсної функції.

Якщо ж розглядати функцію, як функцію двох дійсних змінних то можна визначити дійсний диференціал функції як:

де

Функція, що є комплексно диференційовною в точці є в ній дійсно диференційовним. Натомість дійсно диференційовна функція є комплексно диференційовною якщо її часткові похідні задовольняють умови Коші — Рімана:

Якщо визначити диференціальні оператори то умови Коші — Рімана можна переписати як

Функція називається голоморфною в точці якщо вона є комплексно диференційовною в усіх точках деякого околу точки , тобто для якої існує визначена вище комплексна границя або, еквівалентно, функція є дійсно диференційовною і задовольняє умови Коші — Рімана. Функція називається голоморфною в множині якщо вона є голоморфною в кожній точці деякої відкритої множини для якої

Зауваження[ред.ред. код]

  • Для областей (відкритих зв'язаних множин) голоморфність на множині еквівалентна комплексній диференційовності в усіх точках області. Для загальних множин це не так; наприклад голоморфність в точці є сильнішою умовою, ніж комплексна диференційовність в точці. Прикладом може бути функція яка є диференційовною але не голоморфною в точці 0.
  • Існування часткових похідних і виконання умов Коші — Рімана не є достатньою умовою комплексної диференційовності. Прикладом може бути функція
В точці часткові похідні по дійсних змінних існують і рівні тобто умови Коші — Рімана в цій точці виконуються. Натомість комплексна похідна не є визначеною. Дійсно, якщо у визначені похідної прямувати до точки по множині дійсних чисел то границя у визначенні буде рівною:
Натомість, якщо прямувати по прямій то
  • Іншим прикладом до попереднього зауваження є функція
Для неї всі часткові похідні в точці існують і рівні нулю, тобто задовольняють умови Коші — Рімана але в цій точці функція навіть не є неперервною.

Через степеневі ряди[ред.ред. код]

Функція комплексної змінної називається голоморфною в точці якщо існує деякий окіл точки в якому дана функція рівна сумі степеневого ряду:

.

Функція називається голоморфною в множині якщо вона є голоморфною в кожній точці деякої відкритої множини для якої

Еквівалентність двох означень є однією з найважливіших властивостей голоморфних функцій.

Приклади[ред.ред. код]

Цілі функції[ред.ред. код]

Функція, що є голоморфною в усій множині називається цілою функцією. Цілі функції є сумами свого ряду Тейлора в будь-якій точці (цей ряд завжди буде збіжним на всій комплексній площині). Прикладами цілих функцій є:

  • Експонента для якої ряд Тейлора має вигляд:
  • Тригонометричні функції і
  • Гіперболічні функції і

Функції, що є голоморфними не на всій комплексній площині[ред.ред. код]

  • Раціональні функції є голоморфними голоморфними на всій множині комплексних чисел за винятком скінченної множини (специфічної для кожної окремої раціональної функції), в якій функція має полюс.
  • Логарифмічна функція на множині буде голоморфною, якщо з нескінченної множини можливих значень в кожній точці вибрати єдине так щоб функція була неперервною. Щоб вирішити проблему з багатозначністю потрібно розглядати аналітичні продовження і багатозначні функції або поверхні Рімана.

Ніде не голоморфні функції[ред.ред. код]

Прикладами функцій, що не є голоморфними в жодній точці є:

  • Абсолютна величина
  • Дійсна частина комплексного числа і уявна частина комплексного числа .
  • Комплексне спряження

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо функції є голоморфними у множині , то і функції є голоморфними в . Якщо також то функція теж є голоморфною в . Якщо — дві множини, є голоморфними відповідно в і також то композиція є голоморфною в .
  • Похідна голоморфної функції є теж голоморфною, тому голоморфні функції є нескінченно диференційовними у своїй області визначення. До того ж у записі розкладу функції як суми степеневого ряду коефіцієнти ряду рівні тобто ряд є рядом Тейлора даної функції.
  • Якщо абсолютна величина голоморфної функції досягає локального максимуму у внутрішній точці своєї області визначення, то вона постійна (вважається, що область визначення зв'язна).
  • Якщо функції є голоморфними в області і множина точок в яких ці функції рівні: має граничну точку, то функції тотожно рівні на множині . Зокрема голоморфні функції, що рівні на якомусь відрізку чи прямій (наприклад на дійсній прямій) рівні всюди де вони обидві визначені. Ще одним наслідком є те, що всі нулі голоморфної функції є ізольованими і для кожного нуля існує окіл в якому функція може бути записана як де k — натуральне число, що називається порядком нуля в точці , а — голоморфна функція, що не рівна 0 в .
  • Якщо є голоморфною функцією, то дійсні функції є гармонічними, тобто задовольняють рівняння Лапласа:
  • Нехай є послідовністю функцій, що є голоморфними у відкритій множині . Нехай — функція для якої для будь-якої компактної підмножини , функції рівномірно збігаються до Тоді є голоморфною у множині .

Інтегральні теореми[ред.ред. код]

Одними з найважливіших результатів теорії голоморфних функцій є ряд результатів про властивості лінійних інтегралів:

  • Інтегральна теорема Коші. Якщо γ є спрямлюваною простою замкнутою кривою в однозв'язній області U в якій функція f : UC є голоморфною то для лінійного інтегралу завжди
  • Теорема Морери є оберненим твердженням яке разом разом з інтегральною теоремою Коші фактично є ще одним визначенням голоморфних функцій але лише в однозв'язних областях.
  • Інтегральна формула Коші. При тих же припущеннях, що і вище значення голоморфної функції в любій точці, що знаходиться в області обмеженій кривою γ повністю визначається значеннями функції на самій кривій:
  • Також аналогічні формули існують і для обчислення значень похідних функції в точці, що знаходиться в області обмеженій кривою γ:

Особливі точки[ред.ред. код]

Якщо функція не є голоморфною в точці але є голоморфною в усіх інших точках деякого околу точки то ця точка називається особливою. Багато властивостей функції в області голоморфності може залежати від властивостей особливої точки.

  • Так в деякому околі особливої точки (в якому функція є голоморфною всюди окрім ) функція розкладається в ряд Лорана, що є узагальненням ряду Тейлора де крім додатних можуть бути і від'ємні степені змінної.
  • Особливе значення має коефіцієнт при у цьому розкладі, який називається лишком. Основна теорема про лишки є узагальненням інтегральної теореми Коші на випадок коли в області обмеженій кривою є особливі точки.
  • Поведінка функції в околі особливої точки залежить від того чи є ця точка усувною, полюсом, чи суттєвою особливою точкою.
  • Функція, що є голоморфною всюди в деякій області окрім множини ізольованих точок, що є полюсами називається мероморфною. Кожна мероморфна в області функція є часткою двох голоморфних в області функцій.

Конформні відображення[ред.ред. код]

  • Образом області (відкритої зв'язаної множини) при голоморфній функції буде теж область.
  • Якщо функція є голоморфною в точці і також то відображення є конформним тобто зберігає кути.
  • Якщо в області голоморфна функція є ін'єктивною то всюди тобто функція визначає взаємно-однозначне конформне відображення.
  • Теорема Рімана про відображення. Для довільної однозв'язної відкритої підмножини комплексної площини , що не збігається з усією , існує бієктивне голоморфне відображення із множини на відкритий одиничний круг

Функції багатьох комплексних змінних[ред.ред. код]

Означення[ред.ред. код]

Означення голоморфності переноситься і на випадок функцій багатьох комплексних змінних, тобто функцій виду Для цього випадку теж можна записати комплексні змінні через дійсні і уявні складові комплексну функцію через дві дійсні функції і ввести позначення і

Якщо функція є диференційовною як функція 2n дійсних змінних то у введених позначеннях її (дійсний) диференціал можна записати як:

Функція називається комплексно диференційовною в точці, якщо насправді можна записати в цій точці що є еквівалентним виконанню в цій точці системи Коші — Рімана:

Функція називається голоморфною в точці якщо вона є комплексно диференційовною в околі цієї точки. Функція називається голоморфною у відкритій множині, якщо вона є голоморфною в кожній точці множини.

Як і у випадку функцій однієї змінної можна дати еквівалентне означення за допомогою збіжних степеневих рядів. Функція називається голоморфною в точці , якщо існує окіл точки в усіх точках якого:

З теорем Хартогса і Осгуда випливає, що для голоморфності функції достатньою є її голоморфність по кожній змінній при фіксованих інших.

Властивості[ред.ред. код]

Багато властивостей голоморфних функцій однієї змінної переносяться на випадок багатьох змінних.

  • Суми, добутки, множення на скаляр, частки (коли дільник не рівний нулю в множині) голоморфних в множині функцій теж є голоморфними в цій множині.
  • Голоморфні функції є нескінченно диференційовними і в розкладі в ряд Тейлора коефіцієнти рівні
  • Якщо є голоморфною, то і є голоморфною функцією.
  • Якщо функція є голоморфною, то дійсні функції є плюрігармонічними.
  • Нехай є послідовністю функцій, що є голоморфними у відкритій множині . Нехай дана послідовність рівномірно збігається до функції . Тоді є голоморфною у множині .
  • Якщо абсолютна величина голоморфної функції досягає локального максимуму у внутрішній точці своєї області визначення, то вона постійна (вважається, що область визначення зв'язна).
  • Нехай є голоморфною і Тоді існує таке невироджене лінійне перетворення змінних, що в деякому околі точки a функція матиме вид:
де — голоморфна функція в зазначеному околі, ніде не рівна на ньому нулю, — голоморфні функції в n- 1 змінної в околі точки , що рівні нулю в точці
  • Наслідком з попередньої формули є те, що в малому околі довільного нуля голоморфної функції n змінних (не константи) розмірність простору нулів рівна n- 1. Зокрема для голоморфних функцій більш, ніж однієї змінної ізольованих нулів немає.
  • Узагальнена формула Коші. Визначивши замкнутий полікруг
,
відкритий полікруг аналогічно лише зі строгими нерівностями і його остов
,
багатовимірний варіант формули Коші можна записати як:

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Бицадзе А. В., Основы теории аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1972;
  • Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
  • Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 1—2, 2 изд., М., 1976;
  • Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2905-X. 
  • Gunning, Robert C. (1990). Introduction to Holomorphic functions of Several Complex Variables. Vol. 1 Function theory. Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series. Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 0-534-13308-8. .
  • Karunakaran, V. (2005). Complex Analysis (вид. 2nd). Alpha Science International Ltd. ISBN 1-84265-171-4. 
  • Krantz, Steven G. (1992). Function Theory of Several Complex Variables. Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series (вид. Second). Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole. с. xvi+557. ISBN 0-534-17088-9. MR 1162310. Zbl 776.32001. .
  • Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372