Ряд Тейлора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ряд Те́йлора — розклад функції у нескінченну суму степеневих функцій.

Нехай функція \ f(x) нескінченно диференційована в деякому околі точки \ a, тоді ряд

\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k

має назву ряда Тейлора функції \ f у точці \ a.. У випадку, якщо a=0 цей ряд іноді зветься рядом Маклорена.

Якщо \ f є аналітичною функцією, то її ряд Тейлора у будь-якій точці \ a області визначення збігається до \ f в деякому околі \ a.

Формула Тейлора[ред.ред. код]

Формула Тейлора використовується при доведенні багатьох теорем у диференціальному численні. Якщо говорити нестрого, то формула Тейлора показує поведінку функції в околі деякої точки.

Теорема:

  • Нехай функція \ f(x) має \ n+1 похідну в деякому околі точки \ a, \ U(a ,\epsilon )
  • Нехай \ x\in U(a,\epsilon)
  • Нехай \ p — довільне додатне число

тоді: \exists \xi \in (x,a) при \ x < a або \ \xi\in (a,x) при \ x > a:

f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)

Це формула Тейлора із залишковим членом у загальній формі.

Залишкові члени у формі Лагранжа, Коші́ і Пеа́но[ред.ред. код]

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1

послабимо припущення:

  • Нехай функція f(x)\,\! має n-1\,\! похідних у деякому околі точки {a}
  • І n\,\! похідних у самій точці {a}\,\!

тоді:

R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ] \,\!

Розклад в ряд Маклорена для деяких функцій[ред.ред. код]

Нижче наведені розклади в ряд Маклорена деяких основних функцій, що вірні для комплексних і дійсних x.

Експонента і натуральний логарифм:

\displaystyle\mathrm{e}^{x} = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{x^n}{n!}, x\in\mathbb{C}
\displaystyle\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)} =  \sum\limits^{\infin}_{n=1} \dfrac{(- 1)^{n-1}x^n}{n},      для  \left| x \right| < 1

Біноміальний розклад:

(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n      для  \left| x \right| < 1\quad\mbox{ } і усіх комплексних  \alpha, де \displaystyle\binom \alpha n = \prod\limits_{k=1}^n \dfrac{\alpha-k+1}k = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\!

Квадратний корінь:

\displaystyle\sqrt{1+x} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} - \cdots = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n, для всіх |x|<1\!

Геометричний ряд:

\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} x^n,      для  \left| x \right| < 1

Скінченний геометричний ряд:

\displaystyle\dfrac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum\limits^{m}_{n=0} x^n, для всіх  x \not = 1,\ m\in\mathbb{N}_0\!

Тригонометричні функції:

\displaystyle\sin x =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}
\displaystyle\cos x =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}
\displaystyle\operatorname{tg}\ x =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}      для  \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}      для  \left| x \right| < \frac{\pi}{2}, де E_{2n} — числа Ейлера[en]
\displaystyle\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}      для  \left| x \right| < 1
\displaystyle\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} для  \left| x \right| < 1
\displaystyle\operatorname{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}      для  \left| x \right| < 1

Гіперболічні функції:

\operatorname{sh}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}
\operatorname{ch}\, \left(x\right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}
\operatorname{th}\,\left(x\right) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}      для  \left|x\right| < \frac{\pi}{2}
\operatorname{areash} \left(x\right) =  x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}      для  \left| x \right| < 1
\operatorname{areath} \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}      для  \left| x \right| < 1

Назва[ред.ред. код]

Ряд Тейлора названий на честь англійського математика Брука Тейлора, який відкрив його в період між 1712 і 1715 роками.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов «Математический Анализ» ч.1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов, изд.:Проспект 2004
  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.