Ряд Тейлора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці Ряд Те́йлора — представлення функції у вигляді нескінченної суми доданків, які обчислюються зі значень функцій похідних в одній точці.

Концепція ряду Тейлора була сформульована шотландським математиком Джеймсом Грегорі і офіційно представлена англійським математиком Бруком Тейлором в 1715 році. Якщо ряд Тейлора з центром в нулі, то цей ряд також називається рядом Маклорена , який названий на честь шотландського математика Маклорена, який широко використав цей особливий випадок ряду Тейлора в 18-м столітті.

Функція може бути апроксимована за допомогою кінцевого числа членів ряду Тейлора. Теорема Тейлора дає кількісні оцінки на погрішності, які вносяться за допомогою використання такого наближення. Поліном, утворений з деяких початкових членів ряду Тейлора, називається многочленом Тейлора. Ряд Тейлора функції є границею поліномів Тейлора цій функції у міру збільшення міри, за умови, що існує границя. Функція не може дорівнювати його ряду Тейлора, навіть якщо її ряд збігається в кожній точці. Функція, яка дорівнює його ряду Тейлора у відкритому інтервалі (чи в колi в комплексній площині), називається аналітичною в цьому інтервалі.

Визначення[ред.ред. код]

Ряд Тейлора реальної або комплексної функції f(x), яка є гладкою при дійсному або комплексному числі a, є степеневим рядом

f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots,

який може бути записаний в компактному сума-записі:

 \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n},

де n! означає факторіал n і f^{(n)}(a) означає n-ну похідну від f, оціненої в точці a. Похідна нульового порядку f визначається як сама по собі f тому, що (x-a)^{0} і 0! -рівні 1. При a = 0 ряд також називають рядом Маклорена.

Приклад[ред.ред. код]

Ряд Маклорена для будь-якого многочлена є самим многочленом. Ряд Маклорена (1 - x)^{-1} — геометрична прогресія:

1+x+x^2+x^3+\cdots\!

так що ряд Тейлора для x^{-1} при a = 1 являється

1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\!

Об'єднуючи вищий ряд Маклорена, ми знаходимо ряд Маклорена для \log(1 - x), де \log означає натуральний логарифм:

-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4-\cdots\!

і відповідний ряд Тейлора для \log(x) при a = 1

(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{4}(x-1)^4+\cdots,\!

і в загальнішому плані, відповідний ряд Тейлора для \log (x) в деякі a = x_{0} є:

 \log ( x_0 ) + \frac{1}{x_0} ( x - x_0 ) - \frac{1}{x_0^2}\frac{( x - x_0 )^2}{2} + \cdots.

ряд Тейлора для показниковоi функцii e^{x} при a = 0 є

1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots\! = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.

Вище розкладання справедливе, оскільки похідна e^{x} по x також e^{x} і e^{0} дорівнюють 1. Це залишає вирази (x - 0)^{n} у чисельнику і n! у знаменнику для кожного члена у нескінченній сумі.

Історія[ред.ред. код]

Грецький філософ Зенон розглядав проблему знаходження нескінченного ряду для досягнення кінцевого результату, але відхилив його як неможливе: результатом був парадокс Зенона. Пізніше Арістотель запропонував філософський розв'язок парадоксу, але математичний зміст очевидно не було розв'язано, поки не був отриманий Архімедом, як це було зроблено до Арістотеля атомістом Демокрітом. Саме завдяки методу вичерпування Архімеда, нескінченне число прогресивних підрозділів може бути виконане для досягнення кінцевого результату.[1] Лю Хуей залежно використав аналогічний метод декілька століть потому.[2]

У 14-му столітті, самі ранні приклади використання рядів Тейлора і тісно пов'язані методи були дані Мадхаве з Сандамаграми[ru].[3][4] Хоча жоден звіт про свою роботу не уцілів, праці пізніх індійських математиків[en] свідчать про те, що він виявив ряд особливих випадків ряду Тейлора, у тому числі для тригонометричних функцій синуса, косинуса, тангенса і арктангенса. Керальска школа астрономії і математики[ru] надалі розвивала його роботи з різними рядами розширення і раціональних наближень до 16-го століття.

У 17-му столітті, Джеймс Грегорі також працював в цій області і опублікував декілька рядів Маклорена. Цього не було до 1715 року, проте, загальний метод побудови цих рядів для усіх функцій, для яких вони існують, нарешті, був наданий Бруком Тейлором[5], після якого тепер так i називаються ряди. Ряд Маклорена було названо на честь Колина Маклорена, професора в Едінбургу, який опублікував спеціальний випадок ряду Тейлора у 18-му столітті.

Формула Тейлора[ред.ред. код]

Формула Тейлора використовується при доведенні багатьох теорем у диференціальному численні. Якщо говорити нестрого, то формула Тейлора показує поведінку функції в околі деякої точки.

Теорема:

  • Нехай функція \ f(x) має \ n+1 похідну в деякому околі точки \ a, \ U(a ,\epsilon )
  • Нехай \ x\in U(a,\epsilon)
  • Нехай \ p — довільне додатне число

тоді: \exists \xi \in (x,a) при \ x < a або \ \xi\in (a,x) при \ x > a:

f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)

Це формула Тейлора із залишковим членом у загальній формі.

Залишкові члени у формі Лагранжа, Коші́ і Пеа́но[ред.ред. код]

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1

В інтегральній формі:

R_{n+1}(x) = {1 \over n!}\int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)\,dt

послабимо припущення:

  • Нехай функція f(x)\,\! має n-1\,\! похідних у деякому околі точки {a}
  • І n\,\! похідних у самій точці {a}\,\!

тоді:

R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ] \,\!

Розклад в ряд Маклорена для деяких функцій[ред.ред. код]

Нижче наведені розклади в ряд Маклорена деяких основних функцій, що вірні для комплексних і дійсних x.

Експонента і натуральний логарифм:

\displaystyle\mathrm{e}^{x} = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{x^n}{n!}, x\in\mathbb{C}
\displaystyle\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)} =  \sum\limits^{\infin}_{n=1} \dfrac{(- 1)^{n-1}x^n}{n},      для  \left| x \right| < 1

Біноміальний розклад:

(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n      для  \left| x \right| < 1\quad\mbox{ } і усіх комплексних  \alpha, де \displaystyle\binom \alpha n = \prod\limits_{k=1}^n \dfrac{\alpha-k+1}k = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\!

Квадратний корінь:

\displaystyle\sqrt{1+x} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} - \cdots = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n, для всіх |x|<1\!

Геометричний ряд:

\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} x^n,      для  \left| x \right| < 1

Скінченний геометричний ряд:

\displaystyle\dfrac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum\limits^{m}_{n=0} x^n, для всіх  x \not = 1,\ m\in\mathbb{N}_0\!

Тригонометричні функції:

\displaystyle\sin x =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}
\displaystyle\cos x =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}
\displaystyle\operatorname{tg} x =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}      для  \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}      для  \left| x \right| < \frac{\pi}{2}, де E_{2n} — числа Ейлера[en]
\displaystyle\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}      для  \left| x \right| < 1
\displaystyle\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} для  \left| x \right| < 1
\displaystyle\operatorname{arctg} x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}      для  \left| x \right| < 1

Гіперболічні функції:

\operatorname{sh} x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}
\operatorname{ch} x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}
\operatorname{th} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}      для  \left|x\right| < \frac{\pi}{2}
\operatorname{arsh} x =  x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}      для  \left| x \right| < 1
\operatorname{arth} x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}      для  \left| x \right| < 1

Назва[ред.ред. код]

Ряд Тейлора названий на честь англійського математика Брука Тейлора, який відкрив його в період між 1712 і 1715 роками.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов «Математический Анализ» ч.1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов, изд.:Проспект 2004
  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
    • Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford University Press. с. 35–37. ISBN 0-19-506135-7. 
    • Boyer, C.; Merzbach, U. (1991). A History of Mathematics (вид. Second revised). John Wiley and Sons. с. 202–203. ISBN 0-471-09763-2. 
    • Neither Newton nor Leibniz – The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala. MAT 314. Canisius College. Процитовано 2006-07-09. 
    • S. G. Dani (2012). Ancient Indian Mathematics – A Conspectus. Resonance 17 (3). с. 236–246. doi:10.1007/s12045-012-0022-y. 
    • Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21–23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200—1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.