Ряд Тейлора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Оскільки ступінь полінома Тейлора зростає, він наближається до правильної функції. Це зображення показує sin(x) і її наближення Тейлора, многочлени степені 1, 3, 5, 7, 9, 11 і 13.
Експоненціальна функція e^x (синім кольором), та сума перших n+1 членів ряду Тейлора в точці 0 (червоним кольором).
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

У математиці Ряд Те́йлора — представлення функції у вигляді нескінченної суми доданків, які обчислюються зі значень функцій похідних в одній точці.

Концепція ряду Тейлора була сформульована шотландським математиком Джеймсом Грегорі і офіційно представлена англійським математиком Бруком Тейлором в 1715 році. Якщо ряд Тейлора з центром в нулі, то цей ряд також називається рядом Маклорена , який названий на честь шотландського математика Маклорена, який широко використав цей особливий випадок ряду Тейлора в 18-м столітті.

Функція може бути апроксимована за допомогою кінцевого числа членів ряду Тейлора. Теорема Тейлора дає кількісні оцінки на погрішності, які вносяться за допомогою використання такого наближення. Поліном, утворений з деяких початкових членів ряду Тейлора, називається многочленом Тейлора. Ряд Тейлора функції є границею поліномів Тейлора цій функції у міру збільшення міри, за умови, що існує границя. Функція не може дорівнювати його ряду Тейлора, навіть якщо її ряд збігається в кожній точці. Функція, яка дорівнює його ряду Тейлора у відкритому інтервалі (чи в колi в комплексній площині), називається аналітичною в цьому інтервалі.

Визначення[ред.ред. код]

Ряд Тейлора реальної або комплексної функції f(x), яка є гладкою при дійсному або комплексному числі a, є степеневим рядом

f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots,

який може бути записаний в компактному сума-записі:

 \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n},

де n! означає факторіал n і f^{(n)}(a) означає n-ну похідну від f, оціненої в точці a. Похідна нульового порядку f визначається як сама по собі f тому, що (x-a)^{0} і 0! -рівні 1. При a = 0 ряд також називають рядом Маклорена.

Приклад[ред.ред. код]

Ряд Маклорена для будь-якого многочлена є самим многочленом. Ряд Маклорена (1 - x)^{-1} — геометрична прогресія:

1+x+x^2+x^3+\cdots\!

так що ряд Тейлора для x^{-1} при a = 1 являється

1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\!

Об'єднуючи вищий ряд Маклорена, ми знаходимо ряд Маклорена для \log(1 - x), де \log означає натуральний логарифм:

-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4-\cdots\!

і відповідний ряд Тейлора для \log(x) при a = 1

(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{4}(x-1)^4+\cdots,\!

і в загальнішому плані, відповідний ряд Тейлора для \log (x) в деякі a = x_{0} є:

 \log ( x_0 ) + \frac{1}{x_0} ( x - x_0 ) - \frac{1}{x_0^2}\frac{( x - x_0 )^2}{2} + \cdots.

ряд Тейлора для показниковоi функцii e^{x} при a = 0 є

1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots\! = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.

Вище розкладання справедливе, оскільки похідна e^{x} по x також e^{x} і e^{0} дорівнюють 1. Це залишає вирази (x - 0)^{n} у чисельнику і n! у знаменнику для кожного члена у нескінченній сумі.

Історія[ред.ред. код]

Грецький філософ Зенон розглядав проблему знаходження нескінченного ряду для досягнення кінцевого результату, але відхилив його як неможливе: результатом був парадокс Зенона. Пізніше Арістотель запропонував філософський розв'язок парадоксу, але математичний зміст очевидно не було розв'язано, поки не був отриманий Архімедом, як це було зроблено до Арістотеля атомістом Демокрітом. Саме завдяки методу вичерпування Архімеда, нескінченне число прогресивних підрозділів може бути виконане для досягнення кінцевого результату.[1] Лю Хуей залежно використав аналогічний метод декілька століть потому.[2]

У 14-му столітті, самі ранні приклади використання рядів Тейлора і тісно пов'язані методи були дані Мадхаве з Сандамаграми[ru].[3][4] Хоча жоден звіт про свою роботу не уцілів, праці пізніх індійських математиків[en] свідчать про те, що він виявив ряд особливих випадків ряду Тейлора, у тому числі для тригонометричних функцій синуса, косинуса, тангенса і арктангенса. Керальска школа астрономії і математики[ru] надалі розвивала його роботи з різними рядами розширення і раціональних наближень до 16-го століття.

У 17-му столітті, Джеймс Грегорі також працював в цій області і опублікував декілька рядів Маклорена. Цього не було до 1715 року, проте, загальний метод побудови цих рядів для усіх функцій, для яких вони існують, нарешті, був наданий Бруком Тейлором[5], після якого тепер так i називаються ряди. Ряд Маклорена було названо на честь Колина Маклорена, професора в Едінбургу, який опублікував спеціальний випадок ряду Тейлора у 18-му столітті.


Aналітичні функції[ред.ред. код]

Функція e^{\frac{-1}{x^2}} не є аналітичної в точці x=0: ряд Тейлора тотожно дорівнює 0, а функція не тотожньо дорівнює 0.

Якщо f(x) задається збіжним степенним рядом у відкритому колі (або в інтервалі дійсної прямої) з центром в точці b в комплексній площині, вона називається аналітичною в цьому колі. Таким чином, для x в цьому колі f визначається збіжним степенним рядом

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-b)^n.

Диференцюючи по x наведені вище формули n кількість разів, та підставляючи x=b маємо:

\frac{f^{(n)}(b)}{n!} = a_n

таким чином, функція є аналітичною в відкритому колі з центром в точці b, тоді і тільки тоді, коли її ряд Тейлора збігається до значення функції в кожній точці кола.

Якщо f(x) дорівнює її ряду Тейлора для всіх x в комплексній площині, вона називається цілою. Багаточлени, експоненціальна функція e^x і тригонометричні функції синус і косинус, є прикладами цілих функцій. Функцій, такі як квадратний корінь, логарифм, тригонометричні функції тангенс, і зворотний, арктангенс. Для цих функцій ряд Тейлора не збігається[en], якщо x далеко від b. Тобто, ряд Тейлора розбігається[en] в точці x, якщо відстань між x і b більше, ніж радіус збіжності[en]. Ряд Тейлора можна використовувати для обчислення значення цілої функції в кожній точці, якщо значення функції і всіх її похідних відомі в одній точці.

Використання ряду Тейлора для аналітичних функцій включає в себе:

  1. Часткові суми (поліноми Тейлора) рядів можуть бути використані в якості наближення всієї функції. Ці наближення є більш точними, якщо включено досить багато членів.
  2. Диференціювання та інтегрування степенних рядів можна виконати почленно і, отже, досить легко.
  3. Аналітична функція однозначно продовжується до голоморфної функції на відкритому колі в комплексній площині. Це робить механізм комплексного аналізу доступним.
  4. (Усіченні) ряди можна використовувати для обчислення значень функції чисельно (часто переробляючи поліном в форму Чебишева і його оцінку з алгоритмом Кленшава[en]).
  5. Алгебраїчні операції легко проводити над функціями, які представлені у вигляді степенних рядів; наприклад, формула Ейлера випливає з розкладу ряду Тейлора для тригонометричних і показових функцій. Цей результат має фундаментальне значення в таких областях, як гармонійний аналіз.
  6. Апроксимація з використанням декількох перших членів ряду Тейлора в іншому випадку може зробити нерозв'язні проблеми розв'язними для обмеженої області; цей підхід часто використовується у фізиці.

Наближення і збіжність[ред.ред. код]

Синусоїда (синій) добре апроксимується її многочленом Тейлора степеня 7 (рожевий) протягом всього періоду з центром на початку координат.
Багаточлени Тейлора для \log(1+x) забезпечують точні наближення тільки в діапазоні -1<x<1. Зауважимо, що при x>1, багаточлени Тейлора більш високого степеня є поганим наближенням.
Наближення Тейлора для \log(1+x) (чорний). При x>1, наближення розбігається.

Зображений справа графік є точним наближенням \sin(x) навколо точки x=0. Рожева крива являє собою багаточлен сьомої степені:

\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}.\!

Помилка в цьому наближенні не більше ніж \frac{x^9}{9!}.Зокрема При -1<x<1 помилка менше, ніж 0.000003.

На противагу цьому, також показана картинка функції натурального логарифма \log(1+x) і деякі з його многочленів Тейлора навколо a=0. Ці наближення сходяться до функції тільки в області -1<x<1; за межами цієї області у вищих степенях Тейлора многочлени гірше наближені до функції. Це схоже на феномен Рунге.

Многочлен Тейлора називається залишком або різницею і позначається функцією R_n (x). Теорема Тейлора може бути використана для отримання обмеження на розмір залишку.

Загалом, ряд Тейлора взагалі не повинен бути таким, щоб збігатися[en]. І справді множина функцій зі збіжними рядами Тейлора є множиною міри нуль в просторі Фреше[en] гладких функцій. І навіть якщо ряд Тейлора функції f дійсно сходиться, в загальному випадку її межа не повинна дорівнювати значенню функції f(x). Наприклад, функція


f(x) = \begin{cases}
e^{-1/x^2}&\text{if } x\not=0\\
0&\text{if } x=0
\end{cases}

нескінченно диференційована в точці x=0, і має всі похідні рівні нулю. Отже, ряд Тейлора f(x) при x=0 тотожно дорівнює нулю. Проте, f(x) не нульовий функція, так що її ряд Тейлора не дорівнює значенню функції навколо початку координат. Таким чином, f(x) є прикладом неаналітичної гладкої функції[en].

У дійсному аналізі[en], цей приклад показує, що існує нескінченно диференційовані f(x), при яких ряди Тейлора не рівні f(x), навіть якщо вони збігаються. На противагу цьому, голоморфні функції, які вивчаються в комплексному аналізі, завжди володіють збіжними рядами Тейлора, і навіть ряд Тейлора мероморфних функцій, які можуть мати особливості, ніколи не збігаються до значеннь, відмінною від самої функції. Комплексна функція e^{-z^{-2}}, однак, не наближається до 0, коли z наближається до 0 вздовж уявної осі, так що вона не є неперервною в комплексній площині і її ряд Тейлора є невизначеним при 0.

У більш загальному сенсі, будь-яка послідовність дійсних або комплексних чисел може з'явитися в якості коефіцієнтів в ряді Тейлора нескінченно диференційованої функції, заданої на дійсній прямий, внаслідок лемми Бореля[en]. В результаті радіус збіжності[en] ряду Тейлора може дорівнювати нулю. Є навіть нескінченно диференційованні функції, визначенної на дійсній прямій, ряд Тейлора якої всюди має радіус збіжності 0.[6]

Деякі функції не можуть бути записані у вигляді ряду Тейлора, тому що вони мають особливість; в цих випадках часто можна досягти розширення ряду, якщо воно дозволяє також негативні степеня змінної x; див. ряд Лорана. Наприклад, f(x)=e^{-x^{-2}} можна записати у вигляді ряду Лорана.

Узагальнення[ред.ред. код]

Існує, однак, узагальнення[7][8] ряду Тейлора, що дозволяє збігатися до значення самої функції для будь-якої обмеженою[en] неперервної функції на (0,\infty), використовуючи обчислення кінцевих різниць. Зокрема, має місце наступна теорема, яку довів Еінар Хілл[en], що для будь-якого t>0,

\lim_{h\to 0^+}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\frac{\Delta_h^nf(a)}{h^n} = f(a+t).

тут \Delta^n_h — n-й оператор кінцевої різниці з кроком розміру h. Ряд — це саме ряд Тейлора, за винятком того, що розділені різниці з'являються на місці диференціювання: ряд формально аналогічний ряду Ньютона. Коли функція f є аналітичною в точці a, то члени ряду збігаються до умов ряду Тейлора, і в цьому сенсі узагальнює звичайний ряд Тейлора.

Загалом, для будь-якої нескінченної послідовності a_i тотожність має степенний ряд:

\sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}\Delta^na_i = e^{-u}\sum_{j=0}^\infty\frac{u^j}{j!}a_{i+j}.

Так, зокрема,

f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} e^{-t/h}\sum_{j=0}^\infty f(a+jh) \frac{(t/h)^j}{j!}.

Ряд справа є очікуваним значенням f(a+X), де X являє собою пуассонівську розподілену випадкову величину, що приймає значення jh з ймовірністю e^{-t/h}\frac{(t/h)^j}{j!}. Oтже,

f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} \int\limits_{-\infty}^\infty f(a+x)dP_{t/h,h}(x).

Закон великих чисел виконується, якщо виконується тотожність.

Розклад в ряд Маклорена для деяких функцій[ред.ред. код]

Дивіться також список математичних рядів[en]
Дійсна частина косинусу в комплексній площині.
Наближення восьмого степеня для косинусу в комплексній площині.
Дві вищезгадані поверхні разом.

Слідують декілька важливих розкладів в ряду Маклорена.[9] Всі ці розкладання справедливі для комплексних аргументів x.

Експоненціальна функція:

e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

Натуральний логарифм:

\log(1-x) = - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n ,\quad |x| < 1
\log(1+x) = \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n ,\quad |x| < 1

Геометричний ряд і його похідні (див. статтю для варіантів):

\frac{1}{1-x} = \sum^\infty_{n=0} x^n ,\quad |x| < 1\!
\frac{1}{(1-x)^2} = \sum^\infty_{n=1} nx^{n-1} ,\quad |x| < 1\!
\frac{x}{(1-x)^2} = \sum^\infty_{n=0} nx^n ,\quad |x| < 1\!
\frac{2}{(1-x)^3} = \sum^\infty_{n=2} (n-1)nx^{n-2} ,\quad |x| < 1\!
\frac{2x^2}{(1-x)^3} = \sum^\infty_{n=0} (n-1)nx^n ,\quad |x| < 1\!

Біноміальний ряд[en] (включає в себе квадратний корінь при \alpha=\frac{1}{2} і нескінченної геометричної прогресії при \alpha=-1):

(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n ,\quad |x| < 1

з узагальненими біноміальними коефіцієнтами

{\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.

Наприклад, з першими кількома членами виписуються в явному вигляді для загальних квадратних кореневих випадків:

(1+x)^{0.5} = \textstyle 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots
(1+x)^{-0.5} = \textstyle 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots

Тригонометричні функції:

\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots
\cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
\tan x = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots ,\quad |x| < \frac{\pi}{2}\!
\sec x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} ,\quad |x| < \frac{\pi}{2}\!
\arcsin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} ,\quad |x| \le 1\!
\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} ,\quad |x| \le 1\!
\arctan x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} ,\quad |x| \le 1, x\not=\pm i\!

Гіперболічні функції:

\sinh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots
\cosh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots
\tanh x = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+\cdots ,\quad |x| < \frac{\pi}{2}\!
\mathrm{arsinh} (x) = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} ,\quad |x| \le 1\!
\mathrm{artanh} (x) = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} ,\quad |x| \le 1, x\not=\pm 1\!

Числа B_k, що виникають при підсумовуванні розкладання \tan(x) і \tanh(x) є числа Бернуллі. E_k в розкладанні \sec(x) є числами Ейлера[en].

Формула Тейлора[ред.ред. код]

Формула Тейлора використовується при доведенні багатьох теорем у диференціальному численні. Якщо говорити нестрого, то формула Тейлора відображає поведінку функції в околі деякої точки.

Теорема:

  • Нехай функція \ f(x) має \ n+1 похідну в деякому околі точки \ a, \ U(a ,\varepsilon )
  • Нехай \ x\in U(a,\varepsilon)
  • Нехай \ p — довільне додатне число

тоді: \exists \xi \in (x,a) при \ x < a або \ \xi\in (a,x) при \ x > a:

f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)

Це формула Тейлора із залишковим членом у загальній формі.

Залишкові члени у формі Лагранжа, Коші́ і Пеа́но[ред.ред. код]

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1

В інтегральній формі:

R_{n+1}(x) = {1 \over n!}\int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)\,dt

послабимо припущення:

  • Нехай функція f(x)\,\! має n-1\,\! похідних у деякому околі точки {a}
  • Та n\,\! похідних у самій точці {a}\,\!

тоді:

R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ] \,\!

Назва[ред.ред. код]

Ряд Тейлора названий на честь англійського математика Брука Тейлора, який відкрив його в період між 1712 і 1715 роками.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford University Press. с. 35–37. ISBN 0-19-506135-7. 
  2. Boyer, C.; Merzbach, U. (1991). A History of Mathematics (вид. Second revised). John Wiley and Sons. с. 202–203. ISBN 0-471-09763-2. 
  3. Neither Newton nor Leibniz – The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala. MAT 314. Canisius College. Процитовано 2006-07-09. 
  4. S. G. Dani (2012). Ancient Indian Mathematics – A Conspectus. Resonance 17 (3). с. 236–246. doi:10.1007/s12045-012-0022-y. 
  5. Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21–23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200—1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.
  6. Rudin, Walter (1980). Real and Complex Analysis. New Dehli: McGraw-Hill. с. 418, Exercise 13. ISBN 0-07-099557-5. 
  7. Feller, William (1971). An introduction to probability theory and its applications, Volume 2 (вид. 3rd). Wiley. с. 230–232. .
  8. Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957). Functional analysis and semi-groups. AMS Colloquium Publications 31. American Mathematical Society. с. 300–327. .
  9. Most of these can be found in (Abramowitz та Stegun, 1970).

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов «Математический Анализ» ч.1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов, изд.:Проспект 2004
  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.