Ядро Діріхле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Ядро Діріхле — -періодична функція, що задається формулою[1]:

Функція є ядром, згортка з яким дає часткову суму тригонометричного ряда Фур'є. Це дозволяє аналітично оцінювати співвідношення між початковою функцією і її наближеннями в просторі .

Доведення тригонометричної тотожності

[ред. | ред. код]

За допомогою формули суми синусів

[ред. | ред. код]

Нехай є сума косинусів:

Помножимо кожен доданок на і перетворимо одержані доданки за допомогою стандартної тригонометричної формули

Необхідна рівність одержується діленням двох сторін на

За допомогою суми геометричної прогресії

[ред. | ред. код]

Сума скінченної геометричної прогресії є рівною

Як наслідок, зокрема:

Якщо домножити чисельник і знаменник на , то одержується рівність:

Для одержання необхідної тотожності у попередньому виразі потрібно взяти Тоді:

Співвідношення з рядом Фур'є

[ред. | ред. код]

Нехай  — інтегровна на і -періодична, тоді для часткової суми ряду Фур'є виконується рівність:

Ця формула є однією із найважливіших в теорії рядів Фур'є.

Доведення

[ред. | ред. код]

Розглянемо n-ну часткову суму ряду Фур'є:

Застосовуючи формулу косинуса різниці до виразу під знаком суми, одержуємо:

Застосовуючи це перетворення до формули (4), одержуємо:

Після заміни змінної

Властивості ядра Діріхле

[ред. | ред. код]
  •  — функція -періодична і парна.

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Dirichlet kernel.

Див. також

[ред. | ред. код]