Геометрична прогресія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Геометрична прогресія — послідовність чисел, перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом, що називається знаменником прогресії. Знаменник прогресії не дорівнює 1 (одиниці) Якщо модуль знаменника прогресії більше одиниці — прогресія зростаюча, якщо він менше одиниці — прогресія спадна. У випадку коли знаменник прогресії менше нуля — прогресія знакозмінна.

Приклади:

  • послідовність степенів 2 є геометричною прогресією: 2, 4, 8, 16, 32, ….
  • геометрична прогресія із першим елементом 3, та знаменником −2: 3, −6, 12, −24, 48, ….

Значення n-ного члена[ред.ред. код]

Позначимо перший член b1, а знаменник прогресії q. Тоді другий член b2= b1* q, третій — b3= b2* q= b1* q2, четвертий — b4= b3* q= b1* q3, і так далі.

Тому вираз n-ного члена буде: bn= b1qn-1

Сума[ред.ред. код]

Знайдемо суму перших членів геометричної прогресії

Помножимо та поділимо праву частину на ( не може бути 1), добуток на дає , оскільки решта елементів взаємно знищуються, звідси отримаємо:


Якщо , то , тоді:
при

Властивості[ред.ред. код]

Геометрична прогресія має цікаву властивість:

Наприклад, (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 +…) можна записати як (1 + 2 + 4)(1 + 8 + 64 +…)

Практичне застосування[ред.ред. код]

Формула для суми геометричної прогресії також зручна для обрахунку відсотків по банківських вкладах. Припустимо, Ви кладете $2,000 в банк під 5 % річних. Скільки грошей Ви матимете на рахунку через 6 років?

2,000 · 1.056 = 2680.19

Геометрична прогресія лежить на основі побудови рядів переважних чисел.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання на сторонні джерела[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Г. Корн и Т. Корн «Справочник по математике для научных работников и инженеров»