Теорема сум-добутків

Теорема сум-добутків — теорема арифметичної комбінаторики, що встановлює неструктурованість будь-якої досить великої множини відносно хоча б однієї з операцій поля (додавання та множення). Як показник структурованості використовують, відповідно, розміри множини сум і множини добутків.

Формулювання

Нехай $A\subset {\mathbb {F} }$ - підмножина деякого кільця ${\mathbb {F} }$ (зазвичай ${\mathbb {F} }$ є полем, але формально можна розглядати і кільце) з операціями $+$ і $\cdot$. Розглянемо дві похідні від $A$ множини:

$A+A=\left\lbrace {a_{1}+a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace$

$A\times A=\left\lbrace {a_{1}\cdot a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace$

Якщо множина $A$ структурована відносно додавання (наприклад, у ній багато арифметичних прогресій, або узагальнених арифметичних прогресій, або їх великих шматків), то множина $A+A$ буде відносно невеликою - адже суми багатьох пар елементів збіжаться.

Якщо ж $A$ структурована відносно множення, то, з аналогічної причини, не дуже великою буде множина $A\times A$.

Теорема стверджує, що хоча б одна з множин $A+A$ і $A\times A$ дуже велика відносно $A$, тобто відносно хоча б однієї з операцій структура буде нерегулярною.

Конкретніше, теорема встановлює степеневе зростання розміру більшої з похідних множин відносно розміру початкової:

Теорема Для деякої сталої $\delta =\delta ({\mathbb {F} })>0$ і довільної множини $A\subset {\mathbb {F} }$ (для скінченної ${\mathbb {F} }$ — з обмеженнями на розмір) виконується співвідношення $\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >|A|^{1+\delta }$

Для різних кілець удається отримати оцінки з різними $\delta$. Також для деяких (особливо для скінченних) кілець можливе додавання умов на розмір множини $A$, за яких виконується теорема для даної $\delta$.

Останні випадки

Найзручнішими для вивчення виявляються крайні випадки гіпотези:

• мало сум, багато добутків: якщо $|A+A|\ll |A|$, то $|AA|\geq |A|^{2-o(1)}$

• мало добутків, багато сум: якщо $|AA|\ll |A|$, то $|A+A|\geq |A|^{2-o(1)}$

Приклади

Класичними прикладами, що ілюструють теорему сум-добутків, є арифметична прогресія $A=\left\lbrace {1,\dots ,n}\right\rbrace$ та геометрична прогресія $B=\left\lbrace {1,2,4,\dots ,2^{n-1}}\right\rbrace$.

Арифметична прогресія максимально впорядкована відносно додавання, так що $|A+A|<2|A|$, Однак із її чисел можна скласти багато різних добутків, так що $|A\times A|=\Omega \left({\frac {|A|^{2}}{\log |A|}}\right)$, тому відносно множення вона зовсім невпорядкована.

Так само для геометричної прогресії виконується $|B\times B|<2|B|$ але очевидно (якщо розглянути двійкове подання чисел), що $|B+B|=\Omega (|B|^{2})$.

Результати

Для дійсних чисел

При ${\mathbb {F} }={\mathbb {R} }$ теорему сум-добутків іноді називають також теоремою Ердеша — Семереді, оскільки саме вони 1983 року підняли питання розгляду співвідношення кількостей сум і добутків. У тій самій праці вони висунули гіпотезу про те, що величина $\varepsilon$ може бути як завгодно близькою до одиниці (тобто $\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >|A|^{2-o(1)}$). Однак там само вони висунули ще кілька гіпотез, зокрема, аналогічну для $k$ доданків та множин: $\max \left\lbrace {|A+\dots +A|,|A\times \dots \times A|}\right\rbrace >|A|^{k-o(1)}$.

Хронологія покращення $\delta$ в оцінці $\max\{|A+A|,|AA|\}\geq |A|^{1+\delta -o(1)},\ A\subset {\mathbb {R} }$
Рік	Значення $\delta$	Автор(и)
1983	$1/31$ (*)(**)	Ердеш, Семереді $1+\delta$ замість $1+\delta -o(1)$
1998	$1/15$ (*)(**)	Форд
1997	$1/4$ (**)	Елекеш
2005	$3/11$	Шоймоши
2009	$1/3$	Шоймоші
2015	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{20598}}\approx 0.333381...$	Конягін, Шкредов
2016	${\frac {1}{3}}+{\frac {5}{9813}}\approx 0.333842...$	Конягін, Шкредов
2016	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{1509}}\approx 0.333996...$	Руднєв, Шкредов, Стівенс
2019	${\frac {1}{3}}+{\frac {5}{5277}}\approx 0.334280...$	Шакан
2020 (препринт)	${\frac {1}{3}}+{\frac {2}{1167}}\approx 0.335047...$	Руднєв, Стівенс
(*) Тільки для $A\subset {\mathbb {Z} }$ (**) Правильно і для степеня $1+\delta$ замість $1+\delta -o(1)$

Для полів лишків за простим модулем

Теренс Тао у своїй монографії зазначає, що задачу про отримання аналога результату Ердеша та Семереді в полях ${\mathbb {F} }_{p}$ поставив 1999 року Т. Вольф (у приватній бесіді) для підмножин $A\subset {\mathbb {F} }_{p}$ потужності порядку $p^{1/2}$.

Задачу сум-добутків у ${\mathbb {F} }_{p}$ розв'язано в працях Бургена, Гліббичука та Конягіна і Бургейна, Каца та Тао. Вони довели таку теорему:

Для будь-якого $\varepsilon >0$ існує $\delta =\delta (\varepsilon )>0$ таке, що якщо $A\subset {\mathbb {F} }_{p}$ і $|A|<p^{1-\varepsilon }$, то виконується оцінка $\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace \geq |A|^{1+\delta }$

Вимога $|A|<p^{1-\varepsilon }$ вумові теоремиє природниою т скільки,якщо $|A|$ має порядок близький до $p$, то обидві величини $|A+A|$ і $|A\times A|$ будуть пзапорядкуомблизькіимидо $|A|$.

Для довільних кілець

Теренс Тао досліджував межі можливостей узагальнення теореми на довільні кільця та, зокрема, зв'язок екстремальних випадків малих значень $|A+A|$ і $|A\cdot A|$ з кількістю дільників нуля у множині $A$ та близькістю її структури до підкільця.

Методи доведення

Для дійсних чисел

Перші доведення

У доведенні Ердеша та Семереді використано той факт, що за малих $|A+A|$ і $|A\times A|$ існує розв'язок системи

${\begin{cases}b_{1}+b_{3}=b_{2}+b_{4}\\b_{1}b_{5}=b_{2}b_{6}\,\end{cases}}$

де $b_{i}$ належать деяким (різним) підмножинам $A$, а на множину $A$ накладено особливі умови. Використовуючи таке твердження як лему, можна довести теорему і для довільної множини $A$.

Теорема Семереді — Троттера (Елекеш, 1997)

Якщо всі елементи $a\in A$ мають багато подань у вигляді $a=p_{1}p_{2},\ p_{1}\in \Pi _{1},\ p_{2}\in \Pi _{2}$ для деяких невеликих множин $\Pi _{1}\Pi _{2}$, то для оцінки числа розв'язків рівняння

$a+b=c,\ a\in A,\ b\in B,\ c\in C\ .$

з будь-якими множинами $B,C$ можна використовувати рівняння

$p_{1}p_{2}+b=c,\ p_{1}\in \Pi _{1},\ p_{2}\in \Pi _{2},\ b\in B,\ c\in C\ .$

З іншого боку, розв'язки такого рівняння відповідають інциденціям між прямими, які параметризуються парами $(p_{1},b)$, і точками, які параметризуються парами $(p_{2},c)$. Тому для їх оцінки виявляється зручно використовувати загальні результати про інциденції, найкращий із яких – теорема Семереді — Троттера.

Саме це використав Елекеш для доведення теореми з показником $\delta ={\frac {1}{4}}$. Неявно його доведення можна поділити на два етапи:

• аналіз рівняння $a+b=c,\ a\in A,b\in B,c\in C$ (тривіально, за допомогою розкладання $\Pi _{1}:=AA,\ \Pi _{2}:=1/A$)

• застосування отриманих оцінок (тривіально, для $B:=A,\ C:=A+A$ )

Така декомпозиція важлива для осмислення методів, що виникли пізніше.

Побудова Шоймоші (Шоймоші, 2009)

Побудова Шоймоші. Червоні точки мають координати з $A\times A$.
Зелені точки відповідають сумам червоних із сусідніх прямих. Усі вони гарантовано різні та належать $(A+A)\times (A+A)$.
Кількість ліній із червоними точками виражається через $|AA|$

Шоймоші використав той факт, що якщо ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$, то

${\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}\ .$

З цього випливає, що якщо ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}<{\frac {a_{2}}{b_{2}}}<{\frac {a_{3}}{b_{3}}}$, то

${\frac {a_{1}+a_{2}}{b_{1}+b_{2}}}<{\frac {a_{2}+a_{3}}{b_{2}+b_{3}}}\ .$

Разом з тим, за фіксованих значень $\lambda \in A/A,\ \mu \in A/A$ усі пари $(a+c,b+d)$, що утворюються поданнями

$\lambda ={\frac {a}{b}},\ \mu ={\frac {c}{d}},\ a,b,c,d\in A$

будуть різними, тому, підсумувавши їх за «сусідніми» парами $(\lambda ,\mu )$, можна отримати оцінку на $|A+A|$ в термінах числа таких подань. А воно, у свою чергу, виражається (опосередковано) через $|AA|$.

Найнаочніше цю ідею можна виразити геометрично, як підсумовування точок з $A\times A$, які лежать на сусідніх прямих, що виходять із початку координат.

Розбиття побудови Шоймоші (Конягін, Шкредов, 2015)

Розбиття побудови Шоймоші за методом Конягіна-Шкредова
Кольори ліній, що виходять із початку координат, відповідають блокам, у кожному з яких оцінюється кількість збігів сум.
Сині та фіолетові лінії позначають підсумовувані пари червоних точок із однаковими сумами.

Якщо в побудові Шоймоші прибрати умову про те, що підсумовуювані очки,повинні належати сусіднім прямим, то вже ніщо не буде гарантувати, що всі отримувані суми будуть різними. Наприклад, узагалі всі суми точок із $A\times A$ можуть бути різними лише в екстремальному випадку $|A+A|\gg |A|^{2}$, а він уже задовольняє гіпотезу сум-добутків.

Виходячи з цього, Конягін та Шкредов оцінили мінімальну кількість збігів таких сум у проміжному випадку (коли $|A+A|$ і $|AA|$ дорівнюють нижній оцінці, тобто $|A|^{4/3}$). Щоб оцінити кількість збігів, вони розбили всі прямі на блоки з однакового числа таких, що йдуть підряд, і оцінювали кількість збігів у кожному блоці для більшості з них. Використовуючи ці оцінки, вони отримали результат із $\delta >{\frac {1}{3}}$.

Нетривіальний мультиплікативний розклад (Руднєв, Стівенс, 2020)

Збіги двох сум точок, які розглядали Конягін і Шкредов, означають наявність розв'язку системи рівнянь

${\begin{cases}\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}=\lambda _{3}a_{3}+\lambda _{4}a_{4}\\a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\,\end{cases}}$

де $(a_{i},\lambda _{i}a_{i})\in A\times A$ і всі $\lambda _{i}$ та пари $(\lambda _{1},\lambda _{2}),(\lambda _{3},\lambda _{4})$ різні. Редукуючи систему за методом Гауса (за одну дію), можна отримати рівняння

$a_{3}=c_{1}a_{1}-c_{2}a_{2}$

зі сталими $c_{1},c_{2}$ і тими ж умовами на $a_{1},a_{2}$. Руднєв і Стівенс застосували це для явної побудови мультиплікативного розкладу великої підмножини $A$ зі кращими властивостями, ніж у тривіального.

За аналогією з доведенням Елекеша, це дозволяє розділити доведення оцінок із показником $\delta ={\frac {1}{3}}+c$ на два етапи:

• застосування нового мультиплікативного розкладання;

• нетривіальне застосування рівняння $a-b=c$ для оцінки $|A+A|$ .

Використання старших енергій

Найпопулярніший шлях використання рівнянь для оцінення $|A+A|$ - використання адитивної енергії та її узагальнень. Результати застосування теореми Семереді-Троттера дозволяють найкраще аналізувати рівняння вигляду

$E_{3}(A,D):=\{(a_{1},a_{2},a_{3},d_{1},d_{2},d_{3})\in A^{3}\times D^{3}\ :\ a_{1}-d_{1}=a_{2}-d_{2}=a_{3}-d_{3}\}$

для довільного $D$. Руднєв і Стівенс запропонували метод використання такої адитивної енергії за допомогою розгляду рівняння

$d=(a+b)-(a+c)\,\ a,b,c\in A,\ d\in D\ ,$

де $D$ відповідає множині популярних (із багатьма поданнями) різниць, а $a+b$ належить множині популярних сум. Крім задачі сум-добутків, розробка подібних методів є актуальною для оцінення сум опуклих послідовностей.

Існує схожий операторний метод, який менш ефективний для оцінення $|A+A|$, але дозволяє краще вивчати зв'язок між $E(A)$ і $|AA|$.

Для простих полів

Під час доведення теореми для ${\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p}$ широко використовують поняття адитивної енергії, нерівність Плюннеке — Ружі та оцінки Балога — Семереді — Гауерса. Одне з можливих доведень використовує нижню оцінку розміру множини $R(A)=A\left({{\frac {A\times A-A\times A}{A-A}}+A}\right)$ і той факт, що з верхніх оцінок розмірів $A+A$ і $A\times A$ випливає верхня оцінка розміру $R(A)$, що суперечить нижній.

Застосування

Бурген, Глібичук і Конягін використали частковий випадок теореми при ${\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p}$ для оцінки полілінійних тригонометричних сум. Це, зокрема, дозволило отримати нетривіальні верхні оцінки для сум Гауса ${\Bigg \vert }{\sum \limits _{g\in G}{e^{2\pi {\frac {ag}{p}}i}}}{\Bigg \vert }={\Bigg \vert }{\sum \limits _{x=0}^{p-1}{e^{2\pi {\frac {ax^{n}}{p}}i}}}{\Bigg \vert }$ за малими мультиплікативними підгрупами $G\subset {\mathbb {F} }_{p}^{*},\ |G|={\frac {p-1}{n}}$. Бурген, Кац і Тао, використовуючи цей же випадок, посилили оцінку в проблемі Семереді — Троттера в ${\mathbb {F} }_{p}$, довівши, що для множини пар $I=\left\lbrace {(p,l):p\in l,p\in P,l\in L}\right\rbrace$ для множини $P$ точок з $\left({{\mathbb {F} }_{p}}\right)^{2}$ та прямих $L$ при $|P|=|L|=n$ виконується оцінка $|I|\leq n^{{\frac {3}{2}}-\varepsilon }$ при деякому $\varepsilon >0$.

У цій же роботі вони застосували теорему для дослідження множин Какейї в багатовимірному просторі $({\mathbb {F} }_{p})^{d}$. Для розміру такої множини вони отримали оцінку $|S|>p^{{\frac {d}{2}}+1+10^{-10}}$.

Межі можливого покращення гіпотези

У тій самій статті, де Ердеш та Семереді висунули гіпотезу про те, що $\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >c(\delta )|A|^{2-\delta }$ для $A\subset {\mathbb {Z} },\ \delta >0$, вони навели й приклад побудови як завгодно великої множини $A$, для котрої $|A+A|+|A\times A|\leq |A|^{2-{\frac {c}{\log \log |A|}}}$. Такою множиною виступала множина чисел, одержуваних множенням не більше ніж $2\left\lfloor {\frac {\log x}{6\log \log x}}\right\rfloor$ простих чисел (не обов'язково різних), кожне з яких не перевищує $(\log x)^{3}$, де $x$ - довільне достатньо велике число.

Узагальнення

Для комбінації операцій

Бурген і Чанг розглядали оцінки виду

$\max\{|\underbrace {A+\dots +A} _{k}|,|\underbrace {A\times \dots \times A} _{k}|\}\geq |A|^{b(k)}$

для довільного $k$ і $b(k)\to \infty$.

У багатьох працях додавання та множення поєднують в одному виразі: наприклад, отримують безумовні нижні оцінки для $|AA+AA|$.

Для набору пар доданків/множників

Одне з узагальнень гіпотези — питання про суми та добутки, відповідні ребрам довільного графа на елементах множини.

Нехай $G=(A,E)$ — граф, $E\subset A\times A$, $|A|=n$. Позначимо $c$ і $\delta$ через рівності $|E|=n^{1+c}$ $\max\{|A+_{G}A|,|A\cdot _{G}A|\}=n^{1+\delta }$, де $A+_{G}A:=\{a+b:(a,b)\in E\}$, $A\cdot _{G}A:=\{ab:(a,b)\in E\}$ Як залежать одне від одного значення $c$ і $\delta$ при $|A|\to \infty$?

На відміну від випадку $G=A\times A$, тут може не спостерігатися екстремального зростання ні сум, ні добутків: при $c<1$ можлива ситуація, коли $\delta <c$. Тому, крім нижніх, виявляється актуальним питання верхніх оцінок на $\max\{|A+A|,|AA|\}$. Втім, нижні оцінки також досліджують.

Для оцінки енергій

Нижні оцінки розміру множини сум легко виводити з верхніх оцінок на адитивну енергію, тому гіпотезу про перші природно узагальнити до гіпотези про другі, використовуючи аналогічне поняття мультиплікативної енергії.

Але у множині чисел цілком можуть бути більшими одночасно обидві енергії, оскільки нижня оцінка може керуватися внеском окремої підмножини. Наприклад, якщо $E^{+}(A_{1})\gg |A|^{3},E^{\times }(A_{2})\gg |A|^{3}$, то для множини $A=A_{1}\cup A_{2}$ виконується співвідношення

$\min\{E^{+}(A),E^{\times }(A)\}\geq \min\{E^{+}(A_{1}),E^{\times }(A_{2})\}\gg |A|^{3}\ .$

Тому при формулюванні відповідної теореми про енергії використовується співвідношення енергій різних підмножин.

Теорема Балога — Вулі Існує стала $\delta >0$ така, що для будь-якої множини $A\subset {\mathbb {R} }$ існує розбиття $A=B\sqcup C$ з умовою $E^{+}(B)\leq |A|^{3-\delta },\ E^{\times }(C)\leq |A|^{3-\delta }$

Найкращий варіант цієї теореми доведено для $\delta ={\frac {7}{26}}-o(1)$. Відомо, що аналогічне хибне для $\delta >{\frac {2}{3}}$.

Для довільних опуклих функцій

Добуток двох чисел можна подати як функцію від суми їхніх логарифмів: $ab=\exp(\log a+\log b)$. Поелементне застосування строго висхідної функції до множини не змінює її розміру, тому

$|AA|=|\exp(\log A+\log A)|=|\log A+\log A|$

і основну гіпотезу сум-добутків можна переформулювати як

$\max\{|A+A|,|\log A+\log A|\}\geq |A|^{2-o(1)}$

або (підставляючи $A:=\log A$ ) як

$\max\{|\exp(A)+\exp(A)|,|A+A|\}\geq |A|^{2-o(1)}\ .$

Виявляється, що схожі оцінки можна довести для довільної опуклої функції $\exp$.

Теорема Якщо $A\subset {\mathbb {R} }$ — довільна множина, $f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }$ — довільна строго опукла функція, то $\max\{|A-A|,|f(A)+f(A)|\}\geq |A|^{14/11-o(1)}$ $\max\{|A+A|,|f(A)+f(A)|\}\geq |A|^{24/19-o(1)}$

Питання про те, чи правильні такі ж оцінки з показником $2-o(1)$ у правій частині залишається відкритим.

Аналогічні результати отримано і для більшої кількості доданків.

Література

• Гараев М. З.. Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, // Успехи математических наук. — Российская академия наук, 2010. — Т. 65, вып. 4 (394) (10 июня). — С. 5—66. — DOI:10.4213/rm9367.

• P. Erdös, E. Szemerédi. On sums and products of integers // Birkhäuser Verlag. — 1983. — 10 June. — P. 213–218.

• M. Nathanson. On sums and products of integers // Proceedings of the American Mathematical. — 1997. — Vol. 125, iss. 1 (10 June).

• K. Ford. Sums and Products from a Finite Set of Real Numbers // The Ramanujan Journal. — 1998. — Vol. 2 (10 June). — P. 59–66.

• G. Elekes. On the number of sums and products // Acta Arithmetica. — 1997. — Vol. 81, iss. 4 (10 June). — P. 365–367.

• J. Solymosi. Bounding multiplicative energy by the sumset // Advances in Mathematics. — 2009. — Vol. 222, iss. 2 (10 June). — P. 402–408. — arXiv:0806.1040v3.

• S. V. Konyagin, I. D. Shkredov. On sum sets of sets having small product set // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2015. — Vol. 290 (10 June). — P. 288–299. — arXiv:1503.05771.

• S. V. Konyagin, I. D. Shkredov. New results on sum-products in ${\mathbb {R} }$. — 2016. — 10 June. — arXiv:1602.03473.

• M. Rudnev, I. D. Shkredov, S. Stevens. On The Energy Variant of the Sum-Product Conjecture // Revista Matemática Iberoamericana. — 2020. — Vol. 36, iss. 1 (10 June). — P. 207–232. — arXiv:1607.05053.

• G. Shakan. On higher energy decompositions and the sum–product phenomenon // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 2019. — Vol. 167, iss. 3 (10 June). — P. 599–617. — arXiv:1803.04637.

• M. Rudnev, S. Stevens. An update on the sum-product problem. — 2020. — 10 June. — arXiv:2005.11145.

• G. Elekes, I. Z. Ruzsa. Few sums, many products // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. — 2003. — Vol. 40, iss. 3 (10 June). — P. 301–308.

• B. Murphy, M. Rudnev, I. Shkredov, Y. Shteinikov. On the few products, many sums problem // Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. — 2019. — Vol. 31, iss. 3 (10 June). — P. 573–602. — arXiv:1712.00410.

• N. Alon, I. Ruzsa, J. Solymosi. Sums, products and ratios along the edges of a graph // Publicacions Matemàtiques. — 2020. — Vol. 64, iss. 1 (10 June). — P. 143–155. — arXiv:1802.06405.

• N. Alon, O. Angel, I. Benjamini, E. Lubetzky. Sums and products along sparse graphs // Israel Journal of Mathematics. — 2012. — Vol. 188, iss. 1 (10 June). — P. 353–384. — arXiv:0905.0135.

• I. Shkredov, J. Solymosi. The Uniformity Conjecture in Additive Combinatorics. — 2020. — 10 June. — arXiv:2005.11559.

• J. Solymosi. On the number of sums and products // Bulletin of the London Mathematical Society. — 2005. — Vol. 37, iss. 4 (10 June). — P. 491–494.

• A. Balog, T. D. Wooley. A low-energy decomposition theorem // The Quarterly Journal of Mathematics. — 2017. — Vol. 68, iss. 1 (10 June). — P. 207–226. — arXiv:1510.03309.

• B. Hanson, O. Roche-Newton, M. Rudnev. Higher convexity and iterated sum sets. — 2020. — 10 June. — arXiv:2005.00125.

• L. Li, O. Roche-Newton. Convexity and a sum-product type estimate // Acta Arithmetica. — 2012. — Vol. 156 (10 June). — P. 247–255. — arXiv:1111.5159v1.

• J. Bourgain, M.-C. Chang. On the size of $k$-fold sum and product sets of integers // Journal of the American Mathematical Society. — 2004. — Vol. 17, iss. 2 (10 June). — P. 473–497. — arXiv:math/0309055.

• К. И. Ольмезов, А. С. Семченков, И. Д. Шкредов. О популярных суммах и разностях для множеств с малым мультипликативным удвоением // Математические заметки. — 2020. — Т. 108, вып. 4 (10 июня). — С. 561–571. — arXiv:1911.12005.