Підгрупа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Підгрупою групи G називається підмножина H групи G, що сама є групою щодо операції, визначеної в G.

Підмножина H групи G є її підгрупою тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє такі умови:

  1. містить добуток будь-яких двох елементів з H,
  2. містить разом зі всяким своїм елементом h обернений до нього елемент h^{-1}.

У разі скінченних і періодичних груп перевірка умови 2 є зайвою.

Еквівалентно H є підгрупою, якщо виконується умова:

 \forall (x,y) \in H^2, x*y^{-1} \in H


Приклади[ред.ред. код]

  • Підмножина групи G, що складається з одного елементу 1, буде, очевидно, підгрупою, і ця підгрупа називається одиничною підгрупою групи G.
  • Сама G також є своєю підгрупою.
  • Нехай G абелева група елементами якої є
G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}

і груповою операцією є додавання за модулем 8. Її таблиця Келі має вигляд:

+ 0 2 4 6 1 3 5 7
0 0 2 4 6 1 3 5 7
2 2 4 6 0 3 5 7 1
4 4 6 0 2 5 7 1 3
6 6 0 2 4 7 1 3 5
1 1 3 5 7 2 4 6 0
3 3 5 7 1 4 6 0 2
5 5 7 1 3 6 0 2 4
7 7 1 3 5 0 2 4 6

Ця група має дві власні підгрупи: J={0,4} і H={0,2,4,6}, де J є також підгрупою H. Таблиця Келі H є верхньою лівою чвертю таблиці Келі групи G. Група G є циклічною, як і її підгрупи.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Сама група G і одинична підгрупа називається невласними підгрупами групи G, всі інші підгрупи H власними.
  • Перетин всіх підгруп групи G, що містять всі елементи деякої непорожньої множини M, називається підгрупою, породженою множиною M, і позначається <M>.
  • Якщо M складається з одного елемента a, то <a> називається циклічною підгрупою елемента a.
  • Якщо група G_1 ізоморфна деякій підгрупі H групи G, то кажуть, що група G_1 може бути вкладена в групу G.

Властивості[ред.ред. код]

  • Теоретико-множинний перетин будь-яких двох підгруп групи G є підгрупою групи G.
  • Теоретико-множинне об'єднання підгруп, взагалі кажучи, не зобов'язане бути підгрупою. Об'єднанням підгруп H і K називається підгрупа, породжена об'єднанням множин H\cup K.
  • Нехай f : G \rightarrow G' \,гомоморфізм груп. Тоді якщо H\, є підгрупою G\,, то f(H)\, є підгрупою G'\,. Якщо H'\, є підгрупою G'\,, то f^{-1}(H')\, є підгрупою G\,.
  • Якщо дані дві групи і кожна з них ізоморфна деякій власній підгрупі іншої, то звідси ще не слідує ізоморфізм самих цих груп.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]