Поле Галуа

Арифметичні операції у полі Галуа з двох елементів
Додавання			Множення

+	0	1	×	0	1
0	$0$	$1$		$0$	$0$
1	$1$	$0$		$0$	$1$

Скінченне поле або поле Галуа (на честь Евариста Галуа) — поле, яке складається зі скінченної множини елементів.

Найменше поле Галуа $GF(2)=\mathbb{F}_2$ містить лише два елементи, $0$ та $1,$ арифметичні операції над якими поводяться майже як звичайно, за винятком правила $1+1=0.$ Це поле широко застосується в дискретній математиці, комп'ютерних науках і теорії кодування.

Ідея застосування поля $\mathbb{F}_2$ полягає в тому, що доцільно розглядати послідовності з нулів й одиниць як елементи деякої алгебраїчної структури: векторного простору над цим полем, розширення $\mathbb{F}_{2^n},$ кільця многочленів $\mathbb{F}_{2}[t],$ тощо.

Алгебраїчні операції в цій структурі приводять до низки важливих конструкцій в означених галузях, напр., скінчених проективних площин, кодів Ріда-Мюлера і кодів Гоппа. Засновані на теорії скінчених полів алгоритми перевірки на простоту і факторизації цілих чисел відіграють важливу роль у сучасній прикладній теорії чисел.

Для будь-якого простого числа $\ p,$ кільце залишків $(\operatorname{mod}\, p)$ — це скінчене поле з $\ p$ елементів, яке позначається $GF(p)=\mathbb{F}_p=\Z/p\Z.$ Елементи цього поля можуть бути представлені цілими числами $0,1,\ldots,p-1,$ які додаються і множаться «за модулем $p.$ » Будь-яке скінчене поле містить $p^n$ елементів і однозначно задається своєю характеристикою $p$ і степенем $n.$

Класифікація [ред.]

Будь-яке скінчене поле $\mathbf{K}$ має просту характеристику $p>0,$ тому воно містить в собі просте підполе $\mathbb{F}_p.$ З аксіом поля випливає, що $\mathbf{K}$ уявляє собою скінченовимірний векторний простір над $\mathbb{F}_p$ розмірності $n\geq 1.$

Довільний елемент $\mathbf{K}$ задається своїми $n$ координатами відносно певного базиса, які належать до $\mathbb{F}_p.$ Таким чином, поле $\mathbf{K}$ складається з $q=p^n$ елементів. Виявляється, що і навпаки, для даних простого $p$ і натурального $n\geq 1,$ існує єдине, не враховуючи автоморфізмів, поле Галуа з $q=p^n$ елементів, яке має характеристику $p$ і позначається $GF(q)=\mathbb{F}_q=\mathbb{F}_{p^n}.$