Поле Галуа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Арифметичні операції у полі Галуа з двох елементів
Додавання			Множення

+	0	1	×	0	1
0	$0$	$1$		$0$	$0$
1	$1$	$0$		$0$	$1$

Скінченне поле або поле Галуа (на честь Евариста Галуа) — поле, яке складається зі скінченної множини елементів. Найменше поле Галуа $GF(2)=\mathbb{F}_2$ містить лише два елементи, $0$ та $1,$ арифметичні операції над якими поводяться майже як звичайно, за винятком правила $1 + 1 = 0.$ Це поле широко застосується в дискретній математиці, комп'ютерних науках і теорії кодування. Ідея застосування поля $\mathbb{F}_2$ полягає в тому, що доцільно розглядати послідовності з нулів й одиниць як елементи деякої пов'язаної з ним алгебраїчної структури: векторного простору над цим полем, розширення $\mathbb{F}_{2^n},$ кільця поліномів $\mathbb{F}_{2}[t],$ і т.п. Алгебраїчні операції в цій структурі приводять до низки важливих конструкцій в означених галузях, напр., скінчених проективних площин, кодів Ріда-Мюлера і кодів Гоппа. Засновані на теорії скінчених полей алгоритми перевірки на простоту і факторізації цілих чисел відіграють важливу роль у сучасній прикладній теорії чисел.

Для будь-якого простого числа $p,$ кільце залишків $(\operatorname{mod}\, p)$ — це скінчене поле з $p$ елементів, яке позначається $GF(p)=\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$ Елементи цього поля можуть бути репрезентовані цілими числами $0,1,\ldots,p-1,$ які додаються і множаться "за модулем $p .$ " Ця конструкція узагальнює поле $GF(2)=\mathbb{F}_2,$ яке відповідає $p = 2.$ Будь-яке скінчене поле містить $p n$ елементів і однозначно задається своєю характеристикою $p$ і степенем $n .$

[ред.] Класифікація

Будь-яке скінчене поле $\mathbf{K}$ має просту характеристику $p > 0,$ тому воно містить в собі просте підполе $\mathbb{F}_p.$ З аксіом поля випливає, що $\mathbf{K}$ уявляє собою скінченовимірний векторний простір над $\mathbb{F}_p$ розмірності $n\geq 1.$ Довільний елемент $\mathbf{K}$ задається своїми $n$ коордінатами відносно певного базиса, які належать до $\mathbb{F}_p.$ Таким чином, поле $\mathbf{K}$ складається з $q = p n$ елементів. Виявляється, що і навпаки, для даних простого $p$ і натурального $n\geq 1,$ існує єдине, не враховуючи автоморфізмів, поле Галуа з $q = p n$ елементів, яке має характеристику $p$ і позначається $GF(q)=\mathbb{F}_q=\mathbb{F}_{p^n}.$