Поле Галуа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Арифметичні операції у полі Галуа з двох елементів
Додавання Множення
+ 0 1 × 0 1
0 0 1 0 0
1 1 0 0 1

Скінченне поле або поле Галуа (на честь Евариста Галуа) — поле, яке складається зі скінченної множини елементів.

Найменше поле Галуа GF(2)=\mathbb{F}_2 містить лише два елементи, 0 та 1, арифметичні операції над якими поводяться майже як звичайно, за винятком правила 1+1=0. Це поле широко застосується в дискретній математиці, комп'ютерних науках і теорії кодування.

Ідея застосування поля \mathbb{F}_2 полягає в тому, що доцільно розглядати послідовності з нулів й одиниць як елементи деякої алгебраїчної структури: векторного простору над цим полем, розширення \mathbb{F}_{2^n}, кільця многочленів \mathbb{F}_{2}[t], тощо.

Алгебраїчні операції в цій структурі приводять до низки важливих конструкцій в означених галузях, наприклад, скінчених проективних площин, кодів Ріда-Мюлера і кодів Гоппа. Засновані на теорії скінчених полів алгоритми перевірки на простоту і факторизації цілих чисел відіграють важливу роль у сучасній прикладній теорії чисел.

Для будь-якого простого числа \ p, кільце залишків (\operatorname{mod}\, p) — це скінчене поле з \ p елементів, яке позначається GF(p)=\mathbb{F}_p=\Z/p\Z. Елементи цього поля можуть бути представлені цілими числами 0,1,\ldots,p-1, які додаються і множаться «за модулем p.» Будь-яке скінчене поле містить p^n елементів і однозначно задається своєю характеристикою p і степенем n.

Класифікація[ред.ред. код]

Будь-яке скінчене поле \mathbf{K} має просту характеристику p>0, тому воно містить в собі просте підполе \mathbb{F}_p. З аксіом поля випливає, що \mathbf{K} уявляє собою скінченовимірний векторний простір над \mathbb{F}_p розмірності n\geq 1.

Довільний елемент \mathbf{K} задається своїми n координатами відносно певного базиса, які належать до \mathbb{F}_p. Таким чином, поле \mathbf{K} складається з q=p^n елементів. Виявляється, що і навпаки, для даних простого p і натурального n\geq 1, існує єдине, не враховуючи автоморфізмів, поле Галуа з q=p^n елементів, яке має характеристику p і позначається GF(q)=\mathbb{F}_q=\mathbb{F}_{p^n}.

Джерела[ред.ред. код]


http://sksmonograf.blogspot.com/