Добуток мір

Добуток мір — задання міри на декартовому добутку двох множин з мірою. Має широке застосування в теорії міри, теорії ймовірностей і функціональному аналізі.

Побудова

Нехай $(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}),\;i=1,\;2$ — два вимірних простори, а $X_{1}\times X_{2}$ — декартовий добуток множин $X_{1}$ і $X_{2}$.

${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ є сім'єю підмножин $X_{1}\times X_{2}$. Воно не є сигма-алгеброю. Позначимо

${\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2})$

мінімальну $\sigma$-алгебру, що містить всі множини з ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$. Тоді $(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2})$ — вимірний простір. Визначимо на ньому міру $\mu _{1}\otimes \mu _{2}\colon {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\to \mathbb {R}$ як:

$\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\mu _{1}(A_{1})\cdot \mu _{2}(A_{2}),\quad \forall A=A_{1}\times A_{2}\in {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}.$

$\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ можна продовжити з ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ на ${\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}$:

$\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{2}}\mu _{1}(A_{x_{2}})\,\mu _{2}(dx_{2}),\quad A\in {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}$

і

$\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{1}}\mu _{2}(A_{x_{1}})\,\mu _{1}(dx_{1}),$

де

$A_{x_{2}}=\{x_{1}\in X_{1}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}$ — перетин $A$ вздовж $x_{2}\in X_{2}$, а

$A_{x_{1}}=\{x_{2}\in X_{2}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}$ — перетин $A$ вздовж $x_{1}\in X_{1}$.

Визначена міра $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ називається добутком мір $\mu _{1}$ і $\mu _{2}$. Простір з мірою $(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2})$ називається (прямим) добутком початкових просторів з мірою.

Властивості

• Добуток мір завжди визначений коректно для будь-яких вимірних просторів.
• Для просторів з мірою $(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}),\;i=1,\;2$ добуток мір може бути визначеним неоднозначно. Достатньою умовою однозначності добутку мір є сигма-скінченність обох мір.
• Для довільних просторів з мірою однозначно визначений максимальний добуток мір $(\mu _{1}\otimes \mu _{2})_{max}$ такий, що якщо значення $(\mu _{1}\otimes \mu _{2})_{max}(A)$ є скінченним то для всіх добутків мір їх значення на множині A теж рівне $(\mu _{1}\otimes \mu _{2})_{max}(A).$

Визначення в теорії ймовірностей

• Якщо $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mathbb {P} _{i}),\;i=1,\;2$ — два ймовірнісних простори, то $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})$ називається їх добутком.
• Якщо $X,\;Y\colon \Omega \to \mathbb {R}$ — випадкові величини, то $\mathbb {P} ^{X},\;\mathbb {P} ^{Y}$ — розподіли на $\mathbb {R}$ $X$ і $Y$ відповідно, а $\mathbb {P} ^{X,\;Y}$ — розподіл на $\mathbb {R} ^{2}$ випадкового вектора $(X,\;Y)^{\top }$. Якщо $X,\;Y$ — незалежні, то

$\mathbb {P} ^{X,\;Y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y}.$

Приклад

• Міра Лебега $m_{n}$ на $\mathbb {R} ^{n}$ може бути визначена як добуток $n$ одновимірних мір Лебега $m_{1}$ на $\mathbb {R}$:

${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\bigotimes \limits _{i=1}^{n}{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),$

де ${\mathcal {B}}(X)$ позначає борелівську $\sigma$-алгебру на просторі $X$, і

$m_{n}=\bigotimes \limits _{i=1}^{n}m_{1}.$

• Для прикладу добутку просторів з мірою на якому добуток з мірою визначений не єдиним чином нехай $X_{1},X_{2}=[0,1]\subset \mathbb {R} .$ На першій множині введемо звичайну міру Лебега, на другій — лічильну міру на сигма-алгебрі всіх підмножин. Тоді двома варіантами добутку мір є: 1. Міра, що кожній множині ставить у відповідність суму усіх її горизонтальних перерізів. 2. Максимальна міра, яка може бути скінченною тільки для множин, що є зліченною сумою множин виду A×B, де або A є множиною лебегової міри нуль або B є одноточковою множиною.

На діагоналі множини $[0,1]\times [0,1]$ перша міра рівна 0, а друга — нескінченності.

Див. також

• Теорема Фубіні.

Джерела

• Дороговцев, А. Я. (1989), Элементы общей теории меры и интеграл, К.: Вища школа, с. 152, ISBN 5-11-001190-7
• Cohn, Donald L. (1997) [1980], Measure theory (вид. reprint), Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag, с. IX+373, ISBN 3-7643-3003-1