Ймовірнісний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ймовірнісний простір — поняття, введене А. М. Колмогоровим в 30-х роках XX століття для формалізації поняття ймовірності, яке дало початок бурхливому розвитку теорії ймовірностей як строгої математичної дисципліни.

Ймовірнісний простір — це трійка (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), де

Зауваження[ред.ред. код]

  • Елементарні події (елементи множини \Omega \ ), за визначенням — це результати випадкового експерименту, з яких в експерименті відбувається рівно один.
  • Кожна випадкова подія (елемент \mathcal{F}) — це підмножина \Omega \ . Говорять що в результаті експерименту відбулася випадкова подія A\subset \Omega, якщо (елементарний) результат експерименту є елементом A.
Вимога, що \mathcal{F} є сигма-алгеброю підмножин \Omega \ , дозволяє, зокрема говорити про ймовірність випадкової події, ймовірність об'єднання зліченної кількості випадкових подій, а також про ймовірність доповнення будь-якої події.

Скінчені ймовірнісні простори[ред.ред. код]

Простим і часто використовуваним прикладом ймовірнісного простору є скінчений простір. Нехай \Omega \ скінченна множина, що містить \ |\Omega| = n елементів.

В якості сигма-алгебри зручно узяти сімейство всіх підмножин \ \Omega. Його часто символічно позначають \ 2^{\Omega}. Легко показати, що число членів цього сімейства, тобто число різних випадкових подій, якраз рівне 2^{\vert \Omega \vert}, що пояснює позначення.

Імовірність, взагалі кажучи, можна визначати довільно. Часто, проте, немає причин вважати, що один елементарний результат чим-небудь переважний за іншого. Тоді природним чином ввести ймовірність є:

\mathbb{P}(A) = \frac{n_a}{n},

де A\subset \Omega та \ |A| = n_a — число елементарних результатів, що належать \ A. Зокрема, ймовірність будь-якої елементарної події:

 \mathbb{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n}, \quad \forall \omega \in \Omega.

Приклад[ред.ред. код]

Розглянемо експеримент з киданням урівноваженої монети. Тоді природним чином задати ймовірнісний простір буде: \Omega=\{0,1\}, \; \mathcal{F}= \{\{0\},\{1\},\{0,1\},\emptyset\} і визначити ймовірність таким чином:

 \mathbb{P}(\{0\})= \frac{1}{2}, \quad \mathbb{P}(\{1\}) = \frac{1}{2}, \quad \mathbb{P}(\{0,1\}) = 1, \quad \mathbb{P}(\emptyset) = 0.

Джерела[ред.ред. код]