Ймовірнісний простір

Ймовірнісний простір — поняття, введене А. М. Колмогоровим в 30-х роках XX століття для формалізації поняття ймовірності, яке дало початок бурхливому розвитку теорії ймовірностей як строгої математичної дисципліни.

Ймовірнісний простір — це трійка $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, де

• $\Omega \$ — довільна множина, елементи якої називаються елементарними подіями, сама множина називається простором елементарних подій;
• $\mathcal{F}$ — сигма-алгебра підмножин $\Omega \$, званих (випадковими) подіями;
• $\mathbb{P}$ — ймовірнісна міра або ймовірність, тобто сигма-адитивна скінченна міра, така що $\mathbb{P}(\Omega) = 1$.

Зауваження

• Елементарні події (елементи множини $\Omega \$), за визначенням — це результати випадкового експерименту, з яких в експерименті відбувається рівно один.
• Кожна випадкова подія (елемент $\mathcal{F}$) — це підмножина $\Omega \$. Говорять що в результаті експерименту відбулася випадкова подія $A\subset \Omega$, якщо (елементарний) результат експерименту є елементом $A$.

Вимога, що $\mathcal{F}$ є сигма-алгеброю підмножин $\Omega \$, дозволяє, зокрема говорити про ймовірність випадкової події, ймовірність об'єднання зліченної кількості випадкових подій, а також про ймовірність доповнення будь-якої події.

Скінчені ймовірнісні простори

Простим і часто використовуваним прикладом ймовірнісного простору є скінчений простір. Нехай $\Omega \$ — скінченна множина, що містить $\ |\Omega| = n$ елементів.

В якості сигма-алгебри зручно узяти сімейство всіх підмножин $\ \Omega$. Його часто символічно позначають $\ 2^{\Omega}$. Легко показати, що число членів цього сімейства, тобто число різних випадкових подій, якраз рівне $2^{\vert \Omega \vert}$, що пояснює позначення.

Імовірність, взагалі кажучи, можна визначати довільно. Часто, проте, немає причин вважати, що один елементарний результат чим-небудь переважний за іншого. Тоді природним чином ввести ймовірність є:

$\mathbb{P}(A) = \frac{n_a}{n}$,

де $A\subset \Omega$ та $\ |A| = n_a$ — число елементарних результатів, що належать $\ A$. Зокрема, ймовірність будь-якої елементарної події:

$\mathbb{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n}, \quad \forall \omega \in \Omega.$

Приклад

Розглянемо експеримент з киданням урівноваженої монети. Тоді природним чином задати ймовірнісний простір буде: $\Omega=\{0,1\}, \; \mathcal{F}= \{\{0\},\{1\},\{0,1\},\emptyset\}$ і визначити ймовірність таким чином:

$\mathbb{P}(\{0\})= \frac{1}{2}, \quad \mathbb{P}(\{1\}) = \frac{1}{2}, \quad \mathbb{P}(\{0,1\}) = 1, \quad \mathbb{P}(\emptyset) = 0.$

Джерела

• Колмогоров А.Н. (1974). Основные понятия теории вероятностей (вид. 2). Москва: Наука. с. 119.