Ймовірнісний простір

Частина серії статей з статистики
Теорія ймовірностей
Аксіоми
Ймовірнісний простір Простір елементарних подій Елементарна подія Випадкова подія Випадкова величина Міра ймовірності
Доповнювальна подія Спільний розподіл Відособлений розподіл Умовна ймовірність
Незалежність Умовна незалежність Формула повної ймовірності Закон великих чисел Теорема Баєса Нерівність Буля
Діаграма Венна Деревна діаграма

Ймовірнісний простір — поняття, що його ввів А. М. Колмогоров в 30-х роках XX століття для формалізації поняття ймовірності, яке дало початок бурхливому розвитку теорії ймовірностей як строгої математичної дисципліни.

Ймовірнісний простір — це трійка $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, де

• $\Omega \$ — довільна множина, елементи якої називаються елементарними подіями, сама множина називається простором елементарних подій;
• ${\mathcal {F}}$ — сигма-алгебра підмножин $\Omega \$, званих (випадковими) подіями;
• $\mathbb {P}$ — ймовірнісна міра або ймовірність, тобто сигма-адитивна скінченна міра, така що $\mathbb {P} (\Omega )=1$.

Зауваження

• Елементарні події (елементи множини $\Omega \$), за визначенням — це результати випадкового експерименту, з яких в експерименті відбувається рівно один.
• Кожна випадкова подія (елемент ${\mathcal {F}}$) — це підмножина $\Omega \$. Говорять що в результаті експерименту відбулася випадкова подія $A\subset \Omega$, якщо (елементарний) результат експерименту є елементом $A$.

Вимога, що ${\mathcal {F}}$ є сигма-алгеброю підмножин $\Omega \$, дозволяє, зокрема говорити про ймовірність випадкової події, ймовірність об'єднання зліченної кількості випадкових подій, а також про ймовірність доповнення будь-якої події.

Скінченні ймовірнісні простори

Простим і часто використовуваним прикладом ймовірнісного простору є скінчений простір. Нехай $\Omega \$ — скінченна множина, що містить $\ |\Omega |=n$ елементів.

Як сигма-алгебру зручно узяти сімейство всіх підмножин $\ \Omega$. Його часто символічно позначають $\ 2^{\Omega }$. Легко показати, що число членів цього сімейства, тобто число різних випадкових подій, якраз рівне $2^{\vert \Omega \vert }$, що пояснює позначення.

Імовірність, взагалі кажучи, можна визначати довільно. Часто, проте, немає причин вважати, що один елементарний результат чим-небудь переважний за іншого. Тоді природним чином ввести ймовірність є:

$\mathbb {P} (A)={\frac {n_{a}}{n}}$,

де $A\subset \Omega$ та $\ |A|=n_{a}$ — число елементарних результатів, що належать $\ A$. Зокрема, ймовірність будь-якої елементарної події:

$\mathbb {P} (\{\omega \})={\frac {1}{n}},\quad \forall \omega \in \Omega .$

Приклад

Розглянемо експеримент з киданням урівноваженої монети. Тоді природним чином задати ймовірнісний простір буде: $\Omega =\{0,1\},\;{\mathcal {F}}=\{\{0\},\{1\},\{0,1\},\emptyset \}$ і визначити ймовірність таким чином:

$\mathbb {P} (\{0\})={\frac {1}{2}},\quad \mathbb {P} (\{1\})={\frac {1}{2}},\quad \mathbb {P} (\{0,1\})=1,\quad \mathbb {P} (\emptyset )=0.$

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — Москва : Наука, 1974. — 119 с.(рос.)