Декартів добуток множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоретико-множинні операції

\overline{A} \! доповнення

A\cup B\! об'єднання
A\cap B\! перетин

A\setminus B\! різниця

A\triangle B\! симетрична різниця
A\times B\! декартів добуток



Декартів добуток \scriptstyle A \times B множин \scriptstyle A=\{x,y,z\} та \scriptstyle B=\{1,2,3\}

В теорії множин, дека́ртів добу́ток (прями́й добу́ток) двох множин X та Y — це множина усіх можливих впорядкованих пар, у яких перша компонента належить множині X, а друга — множині Y. Це поняття названо на честь відомого французького математика Рене Декарта.

Декартів добуток двох множин X та Y позначають як X×Y:

X\times Y = \{(x,y) | x\in X \and y\in Y\}.

Наприклад, якщо множина X складається з 13 елементів { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }, а множина Y — з 4 елементів {червоний, чорний, блакитний, зелений}, то декартів добуток цих множин є 52-елементною множиною (оскільки 13×4=52) {(A, червоний), (K, червоний), ... , (2, червоний), (A, чорний), ... , (3, зелений), (2, зелений)}.

Декартів квадрат та n-арний добуток[ред.ред. код]

Декартів квадрат (бінарний декартів добуток) множини X — декартів добуток = X×X.

Декартовим квадратом множини дійсних чисел \mathbb R є двовимірний простір (площина) \mathbb R^2 = \mathbb R \times \mathbb R — множина усіх точок з координатами (x,y), де x та y — дійсні числа (див. Декартова система координат).

Узагальнюючи декартів добуток на випадок n множин X1, X2, ..., Xn, отримують n-арний декартів (прямий) добуток множин:

X_1\times X_2\times \cdots \times X_n = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n)|  x_1\in X_1 \and x_2\in X_2 \and \cdots \and x_n\in X_n\}.

Результатом є множина впорядкованих n-місних кортежів (n-ок, векторів, впорядкованих наборів). Тут i-й член n-ки називається i-ю координатою або i-ю компонентою

n-арний декартів добуток однієї множини X × ... × X позначають також як Xn і називають декартовим (прямим) степенем множини X.

Властивості[ред.ред. код]

Операція декартового добутку не є асоціативною та комутативною, тобто (A×B)×C≠A×(B×C), A×B≠B×A.

Справедливі така тотожність відносно операції перетину (для об'єднання не вірно):

(A \cap B) \times (C \cap D) = (A \times C) \cap (B \times D).

Дистрибутивність буде виконуватись для наступних операцій:

A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C),
A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C),
A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C),
\overline{(A \times B)} = (\overline{A} \times \overline{B}) \cup (\overline{A} \times B) \cup (A \times \overline{B}).

Для підмножин будуть вірні твердження:

  • Якщо  A \subseteq B, то  A \times C \subseteq B \times C,
  • Якщо  A,B \neq \emptyset, то A \times B \subseteq C \times D \iff A \subseteq C \and B \subseteq D.

Проекції[ред.ред. код]

Проекцією кортежу A=(x1, x2, ... , xn) на i-у вісь (або i-ою проекцією) називається i-а координата xi кортежу A, позначається Pri(A) = xi. Проекцією кортежу A=(x1, x2, ... , xn) на осі з номерами i1, i2,..., ik називається кортеж (xi1, xi2, ..., xik), позначається Pri1,i2,...,ik(A).

Приклад: Якщо V={(a,b,c),(a,c,d),(a,b,d)}, то Pr1V={a}, Pr2V={b,c}, Pr2, 3V={(b,c),(c,d), (b,d)}.

Джерела[ред.ред. код]

Математична логіка Це незавершена стаття з теорії множин.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.