Довгі лінії

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Довга лінія — лінія електропередачі, довжина якої перевищує довжину хвилі коливань, що поширюються в ній, а відстань між провідниками, з яких вона складається, значно менше довжини цієї хвилі. Вперше такі лінії з'явилися в 30-х роках 19 століття в телеграфії, а в кінці 20 століття стали використовуватися для передачі енергії змінного струму.

В ідеальній лінії передач (без втрат енергії) розповсюджується тільки електромагнітні хвилі, в яких електричні та магнітні поля строго поперечні (ТЕМ-моди). Розподіл цих полів по перерізу точно повторює розподіл електростатичного поля \mathbf{E} у циліндричному конденсаторі та магнітостатичного поля \mathbf{H} в системі циліндричних провідників з повздовжніми струмами.

У загальному випадку, лінії можуть складатися не з двох, а з більшої кількості провідників (N \gg 2). Це дозволяє розповсюдженню N - 1 незалежних мод, що не заважають одна одній (оскільки поля кожної моди знаходяться в своїй площині). Всі ТЕМ-моди розповсюджуються зі швидкістю світла в середовищі, яке залежить від конкретного виконання лінії передачі.

Розгляд лінії передачі проводиться шляхом формального розбиття на малі відрізки та введення поняття розподілених характеристик лінії: розподіленої ємності, тобто ємності на одиницю довжини C_0 \ , та розподіленої індуктивності, тобто індуктивності на одиницю довжини L_0 \ , що мають у СІ розмірності Ф/м та Гн/м, відповідно.

Телеграфні рівняння[ред.ред. код]

Еквівалентна схема елемента лінії передачі

Звичайно, елемент лінії передачі, на якому визначені C_0 \ та L_0 \ вибирають таким чином, щоб його довжина dx \ була більшою за відстань між двома провідниками лінії (l \ ):

dx > l \ .

Кожний такий елемент містить дві індуктивності :0,5L_0C_0 \ , послідовно включені в обидва провідники лінії передачі, та дві ємності C_0dx \ , включені паралельно на обох кінцях індуктивностей.

Із рівнянь Кірхгофа, складених для такого чотириполюсника, можна записати два диференційні рівняння, які пов'язують струми та напруги із реактивними розподіленими параметрами ЛП:


\frac{\partial}{\partial x} V(x,t) =
-L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t)

\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) =
-C \frac{\partial}{\partial t} V(x,t)
,

які отримали назву телеграфних рівнянь, оскільки вперше були отримані Олівером Гевісайдом при розгляді телеграфної лінії. Шляхом повторного диференціювання ці рівняння можна привести до диференційних рівнянь другого порядку:


\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} V =
\frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} V

\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I =
\frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I

при виконанні умов:

\frac{\partial C_0}{\partial x} =0 та
\frac{\partial L_0}{\partial x} = 0,

що визначають однорідність лінії передачі.

Загальний розв'язок даної задачі є суперпозицією плоских хвиль:

I = I_0 \exp [i(\omega t \pm kx)]
V = V_0Z_w \exp [i(\omega t \pm kx)]

де

k = \frac{\omega }{v} = \frac{2\pi}{\lambda}-

хвильове число;

v = \frac{1}{\sqrt{L_0C_0}}-

швидкість розповсюдження електромагнітної хвилі;

Z_w = \sqrt{\frac{L_0}{C_0}}-

хвильовий опір хвилі в конкретному середовищі.

Очевидно, що v < c \ , де c \ - швидкість світла у вакуумі, а Z_w > Z_0, де Z_0 - хвильовий опір вакууму. Оптимальна передача енергії в лінії передачі реалізується в режимі «бігучої хвилі», коли лінія передачі навантажена на опір, рівний хвильовому.

Література[ред.ред. код]

  • Молчанов А. П., Занадворов П. Н. Курс электротехники и радиотехники, 2-е изд. перераб., М.:Наука, 1969. — 478 с.
  • Физический энциклопедический словарь. Под ред. Прохорова А. М., М.:Сов. энциклопедия, 1983. — 928 с.