Циліндр

Правильний круговий циліндр. h — вісь циліндра; r — радіус.

Циліндр (грец. κύλινδρος — «валик») — геометричне тіло, яке складається не більше ніж з двох паралельних кругів, які суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів. Основа перетинає кожну твірну бічної поверхні рівно один раз.

Види циліндрів

Нескінченний циліндр — це нескінченне тіло, обмежене замкнутою нескінченною циліндричною поверхнею.

Відкритий циліндр — обмежене замкнутим циліндровим променем і його основою геометричне тіло.

Основи циліндра якісно впливають на циліндр:

• якщо основи циліндра пласкі (і, отже, що містять їх площині рівнобіжні) — циліндр називають таким, що стоїть на площині;
• якщо основи стоять на площині циліндра перпендикулярні твірним — прямий циліндр; зокрема, якщо основа що стоїть на площині циліндра:
  • коло — круглий циліндр;
  • еліпс — еліптичний циліндр.

Елементи циліндра

Круги що утворюють циліндр називаються основами циліндра. Вони рівні і лежать у паралельних площинах.

Твірні циліндра — відрізки, що сполучають відповідні точки кіл кругів. Вони паралельні і рівні. До математичних курйозів можна віднести визначення будь-якої кінцевої тривимірної поверхні без самоперетинань як циліндр нульової висоти (дану поверхню вважають одночасно обома основами кінцевого циліндра).

Поверхня циліндра складається з основ і бічної поверхні.

Бічна поверхня складається з твірних.

Радіусом циліндра називається радіус його основи.

Висотою циліндра називається відстань між площинами основ.

Віссю циліндра називається пряма, яка проходить через центри основ. Вона паралельна твірним.

Осьовий переріз — переріз циліндра площиною, яка проходить через вісь циліндра.

Дотична до циліндра — площина, яка проходить через твірну прямого циліндра і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю твірну, називається площиною.

Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні до площин основ. Прямий циліндр можна розглядати як тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони як осі.

Площа поверхні

Площа бічної поверхні

Площа бічної поверхні тіл обертання обчислюється за їхньою розгорткою. Розгортка циліндра являє собою прямокутник з висотою $h$ і довжиною $2 \pi R$, отже площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі його розгортки та обчислюється за формулою:

$S_b = 2 \pi R h$

Площа загальна

Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ його бічної поверхні та його основ:

$S_{p}=2\pi R (h+R)$

Об'єм

Візьмемо плоску фігуру, утворену такими прямими: y = R, x = 0, x = h, y = 0 та будемо обертати її навколо осі Ox. Таким чином ми отримуємо тіло обертання, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін, тобто циліндр.

$V = \pi \int\limits_{0}^{h} R^2 dx = \pi \Bigl. R^2 x \Bigr|_{0}^{h} = \pi R^2 h$,

кінцева формула:

$V=\pi R^{2}h=\pi \frac{d^{2}}{4}h$

Де d — діаметр основи; R — радіус основи.

Див. також

• Призма
• Циліндрична поверхня

Посилання

• Перерізи циліндрів. (англ.)