Меллерівське розсіяння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
t-канал Меллерового розсіяня

Меллерівське розсіяння або розсіяння Меллера — процес пружнього розсіювання електрона на електроні, що описуєть найнижчим порядком теорії збурень в квантовій електродинаміці. Вказаний процес зображується двома діаграмами Фейнмана (u- і t- канали). У цьому наближені не враховуються радіаційні поправки, а також випромінювання м'яких фотонів, якими завжди супроводжується процес розсіювання заряджених частинок.

Релятивістськи-інваріантний вираз для диференціального перерізу Меллерівського розсіяння отримується згідно з відомими правилами обчислення елементів S-матриці в КЕД (в системі одиниць, в якій c=1):

 d\sigma = r_e^2 \frac{4\pi m^2\cdot(dt)}{s(s-4m^2)} \Bigg\{ \frac{1}{t^2} \Big[\frac{s^2+u^2}{2} + 4m^2(t-m^2)\Big] + \frac{1}{u^2}\Big[\frac{s^2+t^2}{2} + 4m^2(u-m^2)\Big] + \frac{4}{tu}(\frac{s}{2} - m^2)(\frac{s}{2} - 3m^2)\Bigg\}
 s = (p_1+p_2)^2, \qquad t=(p_1-q_1)^2, \qquad u=(p_1-q_2)^2
p_1+p_2=q_1+q_2, \qquad p_1^2=p_2^2=q_1^2=q_2^2=m^2

У цих виразах використано позначення:

p_1,p_2,q_1,q_2 — початкові та кінцеві 4-імпульси 1ого і 2ого електронів
m — маса електрона
r_e=\frac{e^2}{4\pi m}=\frac{\alpha}{m} \simeq  2.82\cdot 10^{-15}м — класичний радіус електрона
(dt) — диференціал величини t

Вводячи кут розсіяння \theta і енергію електронів \epsilon в системі центра мас, де

\mathbf{p_1}=-\mathbf{p_2}
(p_1 q_1) = p^2\cos{\theta}
\epsilon = p^2 + m^2
s = 4p^2
t = -4p^2\sin^2{\theta/2}
u = -4p^2\cos^2{\theta/2},

отримаємо формулу Меллера (K.Møller, 1932):

 d\sigma = r_e^2 \frac{1+\beta^2}{4\beta^4 \gamma^2} \bigg[ \frac{4}{\sin^4{\theta}} - \frac{3}{\sin^2{\theta}} + \bigg( \frac{\beta^2}{1+\beta^2}\bigg)^2\bigg(1+\frac{4}{\sin{\theta}}\bigg)\bigg]d\Omega

де

\gamma = \frac{\epsilon}{m}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\beta = \frac{p}{m}
d\Omega = \sin{\theta}d\theta d\phi — елемент тілесного кута

У нерелятивістській границі (\beta\ll 1) цей вираз переходить у формулу Резерфорда з врахуванням обмінної взаємодії (через тотожність електронів) у Борнівському наближені.

 d\sigma=\frac{e^4}{(16\pi mv^2)^2}\bigg[  \frac{1}{\sin^4{\theta}} + \frac{1}{\cos^4{\theta}} - \frac{1}{\sin^2{\theta/2}\cos^2{\theta/2}}\bigg]

Для переходу до лабораторної системи відліку, в якій один із електронів перебуває в стані спокою, потрібно ввести відповідні змінні (\theta ',\gamma ', \beta '), з допомогою співвідношень

 \cos{\theta}=\frac{2-(\gamma '+3)\sin^2{\theta'})}{2+(\gamma '+1)\sin^2{\theta'})}, \qquad 2\gamma^2=\gamma '+1, \qquad \frac{4\beta^2\gamma^2}{1+\beta^2}=(\beta')^2\gamma '

У рамках моделі електрослабкої взаємодії, крім діаграм однофотонного обміну, є також діаграми з проміжним векторним бозоном Z°. Проте їхній внесок у переріз розсіяння електронів дуже малий за рахунок дуже великої маси бозона.

Література[ред.ред. код]

  • Физическая энциклопедия. Т.3. Гл.ред. А. М. Прохоров. М.:Сов.энциклопедия. 1988.