Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Меллерівське розсіяння або розсіяння Меллера — процес пружнього розсіювання електрона на електроні, що описуєть найнижчим порядком теорії збурень в квантовій електродинаміці . Вказаний процес зображується двома діаграмами Фейнмана (u- і t- канали). У цьому наближені не враховуються радіаційні поправки , а також випромінювання м'яких фотонів , якими завжди супроводжується процес розсіювання заряджених частинок.
Релятивістськи-інваріантний вираз для диференціального перерізу Меллерівського розсіяння отримується згідно з відомими правилами обчислення елементів S-матриці в КЕД (в системі одиниць, в якій
c
=
1
{\displaystyle c=1}
d
σ
=
r
e
2
4
π
m
2
⋅
(
d
t
)
s
(
s
−
4
m
2
)
{
1
t
2
[
s
2
+
u
2
2
+
4
m
2
(
t
−
m
2
)
]
+
1
u
2
[
s
2
+
t
2
2
+
4
m
2
(
u
−
m
2
)
]
+
4
t
u
(
s
2
−
m
2
)
(
s
2
−
3
m
2
)
}
{\displaystyle d\sigma =r_{e}^{2}{\frac {4\pi m^{2}\cdot (dt)}{s(s-4m^{2})}}{\Bigg \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\Big [}{\frac {s^{2}+u^{2}}{2}}+4m^{2}(t-m^{2}){\Big ]}+{\frac {1}{u^{2}}}{\Big [}{\frac {s^{2}+t^{2}}{2}}+4m^{2}(u-m^{2}){\Big ]}+{\frac {4}{tu}}({\frac {s}{2}}-m^{2})({\frac {s}{2}}-3m^{2}){\Bigg \}}}
s
=
(
p
1
+
p
2
)
2
,
t
=
(
p
1
−
q
1
)
2
,
u
=
(
p
1
−
q
2
)
2
{\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2},\qquad t=(p_{1}-q_{1})^{2},\qquad u=(p_{1}-q_{2})^{2}}
p
1
+
p
2
=
q
1
+
q
2
,
p
1
2
=
p
2
2
=
q
1
2
=
q
2
2
=
m
2
{\displaystyle p_{1}+p_{2}=q_{1}+q_{2},\qquad p_{1}^{2}=p_{2}^{2}=q_{1}^{2}=q_{2}^{2}=m^{2}}
У цих виразах використано позначення:
p
1
,
p
2
,
q
1
,
q
2
{\displaystyle p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}}
m
{\displaystyle m}
r
e
=
e
2
4
π
m
=
α
m
≃
2.82
⋅
10
−
15
{\displaystyle r_{e}={\frac {e^{2}}{4\pi m}}={\frac {\alpha }{m}}\simeq 2.82\cdot 10^{-15}}
(
d
t
)
{\displaystyle (dt)}
t
{\displaystyle t}
Вводячи кут розсіяння
θ
{\displaystyle \theta }
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
системі центра мас , де
p
1
=
−
p
2
{\displaystyle \mathbf {p_{1}} =-\mathbf {p_{2}} }
(
p
1
q
1
)
=
p
2
cos
θ
{\displaystyle (p_{1}q_{1})=p^{2}\cos {\theta }}
ϵ
=
p
2
+
m
2
{\displaystyle \epsilon =p^{2}+m^{2}}
s
=
4
p
2
{\displaystyle s=4p^{2}}
t
=
−
4
p
2
sin
2
θ
/
2
{\displaystyle t=-4p^{2}\sin ^{2}{\theta /2}}
u
=
−
4
p
2
cos
2
θ
/
2
{\displaystyle u=-4p^{2}\cos ^{2}{\theta /2}}
отримаємо формулу Меллера (K.Møller, 1932):
d
σ
=
r
e
2
1
+
β
2
4
β
4
γ
2
[
4
sin
4
θ
−
3
sin
2
θ
+
(
β
2
1
+
β
2
)
2
(
1
+
4
sin
θ
)
]
d
Ω
{\displaystyle d\sigma =r_{e}^{2}{\frac {1+\beta ^{2}}{4\beta ^{4}\gamma ^{2}}}{\bigg [}{\frac {4}{\sin ^{4}{\theta }}}-{\frac {3}{\sin ^{2}{\theta }}}+{\bigg (}{\frac {\beta ^{2}}{1+\beta ^{2}}}{\bigg )}^{2}{\bigg (}1+{\frac {4}{\sin {\theta }}}{\bigg )}{\bigg ]}d\Omega }
де
γ
=
ϵ
m
=
1
1
−
β
2
{\displaystyle \gamma ={\frac {\epsilon }{m}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}
β
=
p
m
{\displaystyle \beta ={\frac {p}{m}}}
d
Ω
=
sin
θ
d
θ
d
ϕ
{\displaystyle d\Omega =\sin {\theta }d\theta d\phi }
У нерелятивістській границі (
β
≪
1
{\displaystyle \beta \ll 1}
формулу Резерфорда з врахуванням обмінної взаємодії (через тотожність електронів) у Борнівському наближені .
d
σ
=
e
4
(
16
π
m
v
2
)
2
[
1
sin
4
θ
+
1
cos
4
θ
−
1
sin
2
θ
/
2
cos
2
θ
/
2
]
{\displaystyle d\sigma ={\frac {e^{4}}{(16\pi mv^{2})^{2}}}{\bigg [}{\frac {1}{\sin ^{4}{\theta }}}+{\frac {1}{\cos ^{4}{\theta }}}-{\frac {1}{\sin ^{2}{\theta /2}\cos ^{2}{\theta /2}}}{\bigg ]}}
Для переходу до лабораторної системи відліку, в якій один із електронів перебуває в стані спокою, потрібно ввести відповідні змінні (
θ
′
,
γ
′
,
β
′
{\displaystyle \theta ',\gamma ',\beta '}
cos
θ
=
2
−
(
γ
′
+
3
)
sin
2
θ
′
)
2
+
(
γ
′
+
1
)
sin
2
θ
′
)
,
2
γ
2
=
γ
′
+
1
,
4
β
2
γ
2
1
+
β
2
=
(
β
′
)
2
γ
′
{\displaystyle \cos {\theta }={\frac {2-(\gamma '+3)\sin ^{2}{\theta '})}{2+(\gamma '+1)\sin ^{2}{\theta '})}},\qquad 2\gamma ^{2}=\gamma '+1,\qquad {\frac {4\beta ^{2}\gamma ^{2}}{1+\beta ^{2}}}=(\beta ')^{2}\gamma '}
У рамках моделі електрослабкої взаємодії , крім діаграм однофотонного обміну, є також діаграми з проміжним векторним бозоном Z° . Проте їхній внесок у переріз розсіяння електронів дуже малий за рахунок дуже великої маси бозона.
Физическая энциклопедия. Т.3. Гл.ред. А. М. Прохоров. М.:Сов.энциклопедия. 1988.
Теоретичні концепти
Явища
Частинки
![{\displaystyle d\sigma =r_{e}^{2}{\frac {4\pi m^{2}\cdot (dt)}{s(s-4m^{2})}}{\Bigg \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\Big [}{\frac {s^{2}+u^{2}}{2}}+4m^{2}(t-m^{2}){\Big ]}+{\frac {1}{u^{2}}}{\Big [}{\frac {s^{2}+t^{2}}{2}}+4m^{2}(u-m^{2}){\Big ]}+{\frac {4}{tu}}({\frac {s}{2}}-m^{2})({\frac {s}{2}}-3m^{2}){\Bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31b5e30d60b37cde6df9e717eb72366e017c640)
![{\displaystyle d\sigma =r_{e}^{2}{\frac {1+\beta ^{2}}{4\beta ^{4}\gamma ^{2}}}{\bigg [}{\frac {4}{\sin ^{4}{\theta }}}-{\frac {3}{\sin ^{2}{\theta }}}+{\bigg (}{\frac {\beta ^{2}}{1+\beta ^{2}}}{\bigg )}^{2}{\bigg (}1+{\frac {4}{\sin {\theta }}}{\bigg )}{\bigg ]}d\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26a1077a434c0dd4221d21fd1a1ebd8d0bb60c3)
![{\displaystyle d\sigma ={\frac {e^{4}}{(16\pi mv^{2})^{2}}}{\bigg [}{\frac {1}{\sin ^{4}{\theta }}}+{\frac {1}{\cos ^{4}{\theta }}}-{\frac {1}{\sin ^{2}{\theta /2}\cos ^{2}{\theta /2}}}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d522052f7cc06d2b39844e76d28302d22ab9bb5c)
