Метод рухливих клітинних автоматів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Метод рухливих клітинних автоматів
MCA friction net.gif
Рухливі клітинні автомати активно змінюють своїх сусідів за рахунок розриву існуючих зв'язків між автоматами і утворення нових зв'язків (моделювання контактної взаємодії)
Тип методу
Континуальный/Дискретный Дискретный
Аналітичний/Чисельний Чисельний
Характеристики
Зазнав впливу Клітинний автомат, Метод дискретного елемента
Це метод Обчислювальної механіки

Метод рухливих клітинних автоматів (MCA, от англ. movable cellular automata) — це метод обчислювальної механіки деформованого твердого тіла, заснований на дискретному підході. Він поєднує переваги методу класичних клітинних автоматів і метода дискретних елементів. Важливою перевагою методу МСА є можливість моделювання руйнування матеріалу, включаючи генерацію ушкоджень, поширення тріщин, фрагментацію і перемішування речовини. Моделювання саме цих процесів викликає найбільші труднощі в методах механіки суцільних середовищ (метод скінченних елементів, метод скінченних різниць та ін), що є причиною розробки нових концепцій, наприклад, таких як перідінаміка. Відомо, що метод дискретних елементів дуже ефективно описує поведінку гранульованих середовищ. Особливості розрахунку сил взаємодії між рухомими клітинними автоматами дозволяють описувати в рамках єдиного підходу поведінку як гранульованих, так і суцільних середовищ. Так, при прагненні характерного розміру автомата до нуля формалізм методу MCA дозволяє перейти до класичних співвідношенням механіки суцільного середовища.

Основні положення методу[ред.ред. код]

Об'єкт (ліворуч) описується у вигляді набору взаємодіючих автоматів (у центрі). Праворуч представлено поле швидкостей автоматів.

У рамках методу MCA об'єкт моделювання описується як набір взаємодіючих елементів / автоматів. Динаміка безлічі автоматів визначається силами їх взаємодії і правилами для зміни їх стану. Еволюція цієї системи в просторі і в часі визначається рівняннями руху. Сили взаємодії та правила для зв'язаних елементів визначаються функціями відгуку автомата. Ці функції задаються для кожного автомата. Протягом руху автомата наступні нові параметри клітинного автомата розраховуються: Ri - радіус-вектор автомата; Vi - швидкість автомата; \omegai - кутова швидкість автомата; \thetai - вектор повороту автомата; mi - маса автомата; Ji - момент інерції автомата.

Нова концепція - концепція сусідів[ред.ред. код]

Кожен автомат має декілька сусідів

Нова концепція методу MCA заснована на уявленні стану пари автоматів (пов'язує пару взаємодіючих автоматів) у додаток до звичайного стану окремого автомата. Зауважимо що облік цього визначення дозволяє перейти від статичної сіткової концепції до концепції сусідів. В результаті цього, автомати мають можливість змінювати своїх сусідів шляхом перемикання стану (залежностей) пар.

Визначення параметрів стану пари автоматів[ред.ред. код]

Введення нового типу стану вимагає нового параметра використовується як критерію перемикання в стан пов'язані. Це визначається як параметр перекриття автоматів hij. І так, зв'язок клітинних автоматів характеризується величиною їх перекриття.

MCA sh1.gif MCA sh2.gif

Початкова структура формується установкою властивостей особливого зв'язку між кожною парою сусідніх елементів.

Критерії перемикання пари автоматів у стан пов'язані[ред.ред. код]

Пара автоматів ij зліва знаходяться у зв'язаному стані, справа - в незв'язаному.

У порівнянні з методом класичних клітинних автоматами в методі MCA не тільки одиничний автомат але і такожзв'язку автоматів можуть переключатися. Відповідно до концепції бістабільних автоматів вводиться два стани пари (взаємозв'язок):

пов'язані обидва автомата належать одному суцільному тілу
незв'язані кожен автомат належить різних тіл або фрагментів пошкодженого матеріалу

Отже,зміна стану зв'язку пари визначається відносним рухом автоматів, і середовище формується такими парами може бути названабістабільної середовищем.

Рівняння руху MCA[ред.ред. код]

Еволюція MCA середовища описується наступнимирівняннями трансляційного руху:

 {d^2 h^{ij} \over dt^2} = \left( {1 \over m^i} + {1 \over m^j} \right) p^{ij} + \sum_{k\neq j} C(ij,ik) \psi(\alpha_{ij,ik}) {1 \over m^i} p^{ik} + \sum_{\ell \neq i} C(ij,j\ell) \psi(\alpha_{ij,j\ell}) {1 \over m^j} p^{j\ell}
Облік сил, що діють між автоматами ij з боку їхніх сусідів.

Тут mi це маса автомата i, pij це центральна сила діє між автоматами і та j, C (ij,ik) це особливий коефіцієнт асоційований з перенесенням параметра h з пари ij до ik, ψ (αij,ik) це кут між напрямками ij і ik.

Обертальні рухи також можуть бути враховані з точністю обмеженою розміром клітинного автомата. Рівняння обертального руху можуть бути записані таким чином:

{d^2 \theta^{ij} \over dt^2} = \left( {q^{ij} \over J^i} + {q^{ji} \over J^j} \right) \tau^{ij} + \sum_{k\neq j} S(ij,ik) {q^{ik} \over J^i} \tau^{ik} + \sum_{l\neq j} S(ij,jl) {q^{jl} \over J^j} \tau^{jl}

Тут Θij кут відносного повороту (це параметр переключення подібно hij трансляційного руху), qij(ji) це відстань від центру автомата i (j) до точки контакту з автоматом j (i) (кутовий момент), τij це парне тангенціальне взаємодія, S (ij, ik (jl)) це особливий коефіцієнт асоційований з параметром перенесення Θ від однієї пари до іншої (це схоже на C (ij, ik (jl)) з рівнянь трансляційного руху).

Слід зазначити, що рівняння повністю аналогічні рівнянням руху для багато-часткової середовища.

Визначення деформації пари автоматів[ред.ред. код]

Обертання тіла як цілого не призводить до деформації між автоматами

Зсув пари автоматів Безрозмірний параметр деформації для усуненняi j пари автоматів записується як:

 \varepsilon^{ij} = {h^{ij} \over r_{0}^{ij}} = { \left( q^{ij} + q^{ji} \right) - \left( d^{i} + d^{j} \right) \big / 2 \over \left( d^{i} + d^{j} \right) \big / 2 }

У цьому випадку:

\left( \Delta{\varepsilon^{i(j)}} + \Delta{\varepsilon^{j(i)}} \right)  
{ \left( d^{i} + d^{j} \right) \over 2} = V_{n}^{ij} \Delta{t}

де Δt тимчасової крок, Vnij - залежна швидкість. Обертання пари автоматів може бути пораховано аналогічно з зв'язком останнього змішання.

Опис необоротної деформації в методі MCA[ред.ред. код]

Деформація визначається величиною перекриття автоматів
Існує два типи функцій відгуку автоматів

Параметр εij використовується як міра деформації автомата i взаємодіє з автоматом j. Де qij - відстань від центру автомата i до точки його контакту з автоматом j; Ri = di / 2 (di - розмір автомата i).

Наприклад титановий зразок при циклічному навантаженні (розтяг-стиск). Діаграма деформування показана на наступному малюнку:

схема навантаження діаграма деформування
MCA cyclic schem.gif MCA cyclic diag.gif
(Червоні точки - експериментальні дані)

Переваги методу MCA[ред.ред. код]

Завдяки рухливості кожного автоматаметод MCA дозволяє безпосередньо враховувати такі події як:

  • Перемішування мас
  • Ефект проникнення
  • Хімічні реакції
  • Інтенсивні деформації
  • Фазові перетворення
  • Накопичення ушкоджень
  • Фрагментація і тріщини
  • Генерація і розвиток ушкоджень

Використовуючи різні граничні умови різних типів (жорсткі, пружні, в'язко-пружні, т.д.) можна імітувати різні властивості навколишнього середовища, що містить модельовану систему. Можна моделювати різні режими механічного навантаження (розтяг, стиск, зсув, т.д.) за допомогою налаштувань додаткових станів на кордонах.

Література[ред.ред. код]

Програмне забезпечення[ред.ред. код]

  • MCA software package
  • Програма для моделювання матеріалів в дискретно континуальному підході «FEM+MCA»: Номер державної реєстрації в ОФАП (Патент): 50208802297 / Смолин А. Ю., Зелепугин С. А., Добрынин С. А.; заявник та організація-розробник рос. ГОУ ВПО Томский государственный университет. — зарег. 28.11.2008; свідоцтво ОФАП № 11826 від 01.12.2008.

Дивіться також[ред.ред. код]