Мультиіндекс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Мультиіндекс (або мульти-індекс) — узагальнення поняття цілочислового індексу до векторного індексу, яке використовується в різних областях математики, пов'язаних з функціями багатьох змінних. Використання мультиіндексу дозволяє спростити (записати у коротшій формі) математичні формули.

Математичний запис мультиіндексу[ред.ред. код]

n-вимірний мультиіндекс — це вектор

\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n),

складений з невід'ємних чисел. Для двох мультиіндексів \alpha, \beta \in \mathbb{N}\cup\{0\} і вектора x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n вводяться:

  • Покомпоненне додавання і віднімання
\alpha \pm \beta= (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n)
\alpha \leqslant \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_i \leqslant \beta_i \quad \forall\,i\in\{1,\ldots,n\}
  • Абсолютне значення як сума компонент
| \alpha | = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n
\alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!
{\alpha \choose \beta} ={\alpha_1 \choose \beta_1}{\alpha_2 \choose \beta_2}\cdots{\alpha_n \choose \beta_n}
x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \ldots x_n^{\alpha_n}
\partial^\alpha = \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \ldots \partial_n^{\alpha_n}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \partial x_2^{\alpha_2} \ldots \partial x_n^{\alpha_n}}, де \partial_i^{\alpha_i}:=\part^{\alpha_i} / \part x_i^{\alpha_i}

Застосування[ред.ред. код]

Використання мультиіндекса дозволяє без проблем узагальнити багато з формул класичного аналізу на випадок багатьох змінних. Ось деякі приклади:

Мультиноміальні коефіцієнти[ред.ред. код]

Узагальнення бінома Ньютона на багатовимірний випадок:

 \biggl( \sum_{i=1}^n x_i\biggr)^k = \sum_{|\alpha|=k} \frac{k!}{\alpha!} \, x^\alpha=\sum_{|\alpha|=k} \frac{k!}{\alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!} \,  x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \ldots x_n^{\alpha_n}

Правило Лейбніца[ред.ред. код]

Для гладких функцій f і g

\partial^\alpha(fg) = \sum_{\nu \leqslant \alpha} {\alpha \choose \nu} \partial^{\nu}f\,\partial^{\alpha-\nu}g.

Розклад в ряд Тейлора[ред.ред. код]

Для аналітичної функції f від n змінних справедливий розклад

f(x+h) = \sum_{\alpha\in\mathbb{N}\cup\{0\}}^{}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}.

Для достатньо гладких функцій виконується формула Тейлора

f(x+h) = \sum_{|\alpha| \leqslant n}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}+R_n(x,h),

де останній член (залишок) може бути записаний в різних формах. Наприклад, в (інтегральній) формі Коші

R_n(x,h)= (n+1) \sum_{|\alpha| =n+1}\frac{h^\alpha}{\alpha !}\int_0^1(1-t)^n\partial^\alpha f(x+th)\,dt.

Оператор диференціювання[ред.ред. код]

Формальний оператор взяття частинної похідної N-го порядку в n-вимірному просторі записується наступним чином:

P(\partial) = \sum_{|\alpha| \le N}{}{a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}}.

Інтегрування частинами[ред.ред. код]

Для достатньо гладких функцій в обмеженій області \Omega \subset \mathbb{R}^n справедлива формула

\int_{\Omega}{}{u(\partial^{\alpha}v)}\,dx = (-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}^{}{(\partial^{\alpha}u)v\,dx}.

Ця формула використовується при означенні узагальнених функцій.


Посилання[ред.ред. код]