Наближення майже вільних електронів

Наближення майже вільних електронів - метод у квантовій теорії твердого тіла, в якому заданий кристалічною ґраткою періодичний потенціал вважається малим збуренням щодо вільного руху валентних електронів.

Наближення майже вільних електронів передбачає виникнення вузьких заборонених зон внаслідок Бреґґівської дифракції електронів на кристалічній ґратці.

Математичне формулювання[ред. | ред. код]

Гамільтоніан, що описує рух електрона в потенціальному полі ядер атомів у наближенні середнього поля задається формулою

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} )

,

де $\hbar$ - приведена стала Планка, m - маса електрона, $V(\mathbf {r} )$ - періодичний потенціал. що враховує взаємодію електрона з кристалічною ґраткою й іншими електронами.

Хвильову функцію електрона, що повинна задовільняти теоремі Блоха, можна шукати у вигляді розкладу в ряд Фур'є

\psi _{\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\sum _{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} +\mathbf {G} }e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }

,

де $\mathbf {k}$ - хвильовий вектор, $\mathbf {G}$ - вектор оберненої ґратки.

Якщо потенціал $V(\mathbf {r} )$ малий за величиною в порівняні з кінетичною енергією електрона, то рух електронів можна вважати майже вільним. Енергія електрона задається формулою

E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

,

Ця формула справедлива усюди в зоні Брілюена, окрім того випадку, коли хвильова функція поступального руху електрона інтерферуватиме із хвилею, розсіяною на періодичному потенціалі. Така ситуація складається тоді, коли $\mathbf {k} \approx \mathbf {G} /2$ . В цій області хвильових векторів використовується двохвильове наближення, згідно з яким амплітуди прямої й розсіяної хвилі визначаються системою рівнянь.

\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)a_{\mathbf {k} }+V_{\mathbf {-G} }a_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }=0

,

\left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\right)a_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }+V_{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} }=0

,

де $V_{\mathbf {G} }$ - коефіцієнти розкладу періодичного потенціалу в ряд Фур'є.

Ця система рівнять має нетривіальний розв'язок при виконанні умови

\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)\left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\right)-V_{\mathbf {G} }V_{\mathbf {-G} }=0

,

що задає закон дисперсії електронних станів на границі зони Брілюена. Безпосередньо на границі ( $\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} =\mathbf {G} ^{2}/2$ )

E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}\pm |V_{\mathbf {G} }|

.

У проміжку енергій між $E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}-|V_{\mathbf {G} }|$ і $E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}+|V_{\mathbf {G} }|$ електронних рівнів немає, чим визначається існування вузької забороненої зони.