Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Обернені гіперболічні функції — визначаються як обернені функції до гіперболічних функцій . Ці функції визначають площу сектора одиничної гіперболи x 2 − y 2 = 1обернені тригонометричні функції визначають довжину дуги одиничного кола x 2 + y 2 = 1arc є скороченням від arcus — дуга, тоді як префікс ar означає area — площа. Тож правильними є позначення arsinh, arsh і т.д. і назви гіперболічний ареасинус , гіперболічний ареакосинус і т.д.
Гіперболічний ареасинус для дійсного аргумента Гіперболічний ареакосинус для дійсного аргумента Гіперболічний ареатангенс для дійсного аргумента Гіперболічний ареакотангенс для дійсного аргумента Гіперболічний ареасеканс для дійсного аргумента Гіперболічний ареакосеканс для дійсного аргумента В комплексній площині функції можна визначити формулами:
arsh
z
=
ln
(
z
+
z
2
+
1
)
,
{\displaystyle \operatorname {arsh} \,z=\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\right),}
Гіперболічний ареакосинус
arch
z
=
ln
(
z
+
z
+
1
z
−
1
)
,
{\displaystyle \operatorname {arch} \,z=\ln(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,),}
Гіперболічний ареатангенс
arth
z
=
1
2
ln
(
1
+
z
1
−
z
)
.
{\displaystyle \operatorname {arth} \,z={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}}\right).}
Гіперболічний ареакотангенс
arcth
z
=
1
2
ln
(
z
+
1
z
−
1
)
.
{\displaystyle \operatorname {arcth} \,z={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}}\right).}
arsch
z
=
ln
(
1
z
+
1
z
2
+
1
)
,
{\displaystyle \operatorname {arsch} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right),}
Гіперболічний ареакосеканс
arcsch
z
=
ln
(
1
z
+
1
z
+
1
1
z
−
1
)
.
{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\,\right).}
Квадратними коренями в цих формулах є головні значення квадратного кореня і логарифмічні функції є функціями комплексної змінної. Для дійсних аргументів можна здійснити деякі спрощення, наприклад
x
+
1
x
−
1
=
x
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1}}}
Обернені гіперболічні функції можна розкласти в ряди :
arsh
x
=
x
−
(
1
2
)
x
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}
arch
x
=
ln
2
x
−
(
(
1
2
)
x
−
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
x
−
∑
n
=
1
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
2
n
(
2
n
)
,
x
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1\end{aligned}}}
arth
x
=
x
+
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}
arcsch
x
=
arsh
1
x
=
x
−
1
−
(
1
2
)
x
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
arsch
x
=
arch
1
x
=
ln
2
x
−
(
(
1
2
)
x
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
x
−
∑
n
=
1
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
2
n
,
0
<
x
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsch} \,x=\operatorname {arch} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}
arcth
x
=
arth
1
x
=
x
−
1
+
x
−
3
3
+
x
−
5
5
+
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcth} \,x=\operatorname {arth} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
Asymptotic expansion for the arsinh x is given by
arsh
x
=
ln
2
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
(
2
n
)
!
!
1
x
2
n
{\displaystyle \operatorname {arsh} \,x=\ln 2x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}
d
d
x
arsh
x
=
1
1
+
x
2
d
d
x
arch
x
=
1
x
2
−
1
d
d
x
arth
x
=
1
1
−
x
2
d
d
x
arcth
x
=
1
1
−
x
2
d
d
x
arsch
x
=
−
1
x
(
x
+
1
)
1
−
x
1
+
x
d
d
x
arcsch
x
=
−
1
x
2
1
+
1
x
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arch} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsch} \,x&{}={\frac {-1}{x(x+1)\,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}\\\end{aligned}}}
Для дійсних x :
d
d
x
arsch
x
=
∓
1
x
1
−
x
2
;
ℜ
{
x
}
≷
0
d
d
x
arcsch
x
=
∓
1
x
1
+
x
2
;
ℜ
{
x
}
≷
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsch} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1+x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0\end{aligned}}}
Приклад диференціювання: якщо θ = arsh x , то:
d
arsh
x
d
x
=
d
θ
d
sh
θ
=
1
ch
θ
=
1
1
+
sh
2
θ
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsh} \,x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\operatorname {sh} \theta }}={\frac {1}{\operatorname {ch} \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
Композиція гіперболічних і обернених гіперболічних функцій [ ред. | ред. код ]
sh
(
arch
x
)
=
x
2
−
1
for
|
x
|
>
1
sh
(
arth
x
)
=
x
1
−
x
2
for
−
1
<
x
<
1
ch
(
arsh
x
)
=
1
+
x
2
ch
(
arth
x
)
=
1
1
−
x
2
for
−
1
<
x
<
1
th
(
arsh
x
)
=
x
1
+
x
2
th
(
arch
x
)
=
x
2
−
1
x
for
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sh} (\operatorname {arch} \,x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\operatorname {sh} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arsh} \,x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\operatorname {th} (\operatorname {arsh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\operatorname {th} (\operatorname {arch} \,x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}
arsh
u
±
arsh
v
=
arsh
(
u
1
+
v
2
±
v
1
+
u
2
)
{\displaystyle \operatorname {arsh} \;u\pm \operatorname {arsh} \;v=\operatorname {arsh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}
arch
u
±
arch
v
=
arch
(
u
v
±
(
u
2
−
1
)
(
v
2
−
1
)
)
{\displaystyle \operatorname {arch} \;u\pm \operatorname {arch} \;v=\operatorname {arch} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}
arth
u
±
arth
v
=
arth
(
u
±
v
1
±
u
v
)
{\displaystyle \operatorname {arth} \;u\pm \operatorname {arth} \;v=\operatorname {arth} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}
arsh
u
+
arch
v
=
arsh
(
u
v
+
(
1
+
u
2
)
(
v
2
−
1
)
)
=
arch
(
v
1
+
u
2
+
u
v
2
−
1
)
arch
(
2
u
2
−
1
)
=
2
arch
u
arch
(
2
u
2
+
1
)
=
2
arsh
u
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \;u+\operatorname {arch} \;v&=\operatorname {arsh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arch} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\\\operatorname {arch} (2u^{2}-1)&=2\operatorname {arch} u\\\operatorname {arch} (2u^{2}+1)&=2\operatorname {arsh} u\end{aligned}}}
Обернені гіперболічні функції у Вікісховищі
