Обернені гіперболічні функції

Обернені гіперболічні функції — визначаються як обернені функції до гіперболічних функцій. Ці функції визначають площу сектора одиничної гіперболи x² − y² = 1 аналогічно до того, як обернені тригонометричні функції визначають довжину дуги одиничного кола x² + y² = 1. Для цих функцій часто використовуються позначення arcsinh, arcsh, arccosh, arcch і т.д., хоча таке позначення є загалом помилковим, оскільки arc є скороченням від arcus — дуга, тоді як префікс ar означає area — площа. Тож правильними є позначення arsinh, arsh і т.д. і назви гіперболічний ареасинус, гіперболічний ареакосинус і т.д.

Визначення функцій

Гіперболічний ареасинус для дійсного аргумента

Гіперболічний ареакосинус для дійсного аргумента

Гіперболічний ареатангенс для дійсного аргумента

Гіперболічний ареакотангенс для дійсного аргумента

Гіперболічний ареасеканс для дійсного аргумента

Гіперболічний ареакосеканс для дійсного аргумента

В комплексній площині функції можна визначити формулами:

• Гіперболічний ареасинус

$\operatorname{arsinh}\, z = \ln(z + \sqrt{z^2 + 1} \,),$

• Гіперболічний ареакосинус

$\operatorname{arcosh}\, z = \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt{z-1} \,),$

• Гіперболічний ареатангенс

$\operatorname{artanh}\, z = \tfrac12\ln(\frac{1+z}{1-z}).$

• Гіперболічний ареакотангенс

$\operatorname{arcoth}\, z = \tfrac12\ln(\frac{z+1}{z-1}).$

• Гіперболічний ареасеканс

$\operatorname{arcsch}\, z = \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z^2} +1 } \,\right),$

• Гіперболічний ареакосеканс

$\operatorname{arsech}\, z = \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z} + 1 } \, \sqrt{ \frac{1}{z} -1 } \,\right).$

Квадратними коренями в цих формулах є головні значення квадратного кореня і логарифмічні функції є функціями комплексної змінної. Для дійсних аргументів можна здійснити деякі спрощення, наприклад $\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1}$, що не завжди вірно для головних значень квадратних коренів.

Розклад в ряди

Обернені гіперболічні функції можна розкласти в ряди:

$\begin{align}\operatorname{arsinh}\, x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1 \end{align}$

$\begin{align}\operatorname{arcosh}\, x & = \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\ & = \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1 \end{align}$

$\begin{align}\operatorname{artanh}\, x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1 \end{align}$

$\begin{align}\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsinh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}$

$\begin{align}\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arcosh} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\ & = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1 \end{align}$

$\begin{align}\operatorname{arcoth}\, x = \operatorname{artanh} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}$

Asymptotic expansion for the arsinh x is given by

$\operatorname{arsinh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}$

Похідні

$\begin{align} \frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcosh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{artanh}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcoth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\ \end{align}$

Для дійсних x:

$\begin{align} \frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0 \end{align}$

Приклад диференціювання: якщо θ = arsinh x, то:

$\frac{d\,\operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Композиція гіперболічних і обернених гіперболічних функцій

$\begin{align} &\operatorname{sinh}(\operatorname{arcosh}\,x) = \sqrt{x^{2} - 1} \quad \text{for} \quad |x| > 1 \\ &\operatorname{\sinh}(\operatorname{artanh}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 < x < 1 \\ &\operatorname{\cosh}(\operatorname{arsinh}\,x) = \sqrt{1+x^{2}} \\ &\operatorname{\cosh}(\operatorname{artanh}\,x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 < x < 1 \\ &\operatorname{\tanh}(\operatorname{arsinh}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \\ &\operatorname{\tanh}(\operatorname{arcosh}\,x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} \quad \text{for} \quad |x| > 1 \end{align}$

Додаткові формули

$\operatorname{arsinh} \;u \pm \operatorname{arsinh} \;v = \operatorname{arsinh} \left(u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right)$

$\operatorname{arcosh} \;u \pm \operatorname{arcosh} \;v = \operatorname{arcosh} \left(u v \pm \sqrt{(u^2 - 1) (v^2 - 1)}\right)$

$\operatorname{artanh} \;u \pm \operatorname{artanh} \;v = \operatorname{artanh} \left( \frac{u \pm v}{1 \pm uv} \right)$

$\begin{align}\operatorname{arsinh} \;u + \operatorname{arcosh} \;v & = \operatorname{arsinh} \left(u v + \sqrt{(1 + u^2) (v^2 - 1)}\right) \\ & = \operatorname{arcosh} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right) \end{align}$

$\operatorname{arcosh}(2x^2-1)=2\operatorname{arcosh}(x)$

Див. також

• Гіперболічні функції
• Обернені тригонометричні функції
• Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій

Джерела

• Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, с. 207, Academic Press.

Посилання

• Inverse hyperbolic functions на сайті MathWorld
• Inverse hyperbolic functions