Логарифм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Число $\mathbb{}x$ називається логарифмом числа $\mathbb{}a$ за основою $\mathbb{}n$ , якщо $\mathbb{}n^x = a .$

Позначення:

$\mathbb{}x = \log _n a$ .

Існують особливі позначення для десяткових логарифмів: $\mathbb{}\log_{10} a = \lg a$ та натуральних логарифмів $\mathbb{}\log_e a = \ln a$ .

[ред.] Властивості

Логарифм добутку двох чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел:

$\log_n xy = \log_n x + \log_n y. \;$

Саме ця властивість зробила логарифм надзвичайно корисною функцією. Додавання набагато простіша операція ніж множення, й, маючи таблицю логарифмів можна сильно спростити складні обчислення.

Інші корисні властивості:

$\log_m a = \frac{\log_n a}{\log_n m}$

дозволяє переходити від одної основи до іншої,

$\log_b a^c = c\cdot \log_b a\;$ ,

$\log_{b^c} a = \tfrac{1}{c} \log_b a\;$ .

[ред.] Логарифмічна функція

Графіки логарифмічної функції за основами $\mathbb{}e$ (червоний), 10 (зелений) та 1,7 (фіолетовий)

Логарифмічна функція $\,\! y = \log_n x$ ставить у відповідність кожному значенню змінної його логарифм за наперед обраною основою $\,\! n$ .

Властивості логарифмічної функції:

множина визначення логарифмічної функції $D=(0, +\infty)$ ,
логарифмічна функція є монотонною, причому
- є зростаючою якщо $\,\! n>1$
- є спадною якщо $\,\! 0<n<1$
логарифмічні функції за різними основами є пропорційними,
функція $\,\! y = \log_n x$ є оберненою до показникової функції $\,\! y = n^x$ ,
розклад у ряд Тейлора

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \,$

похідна

$\frac{d \ln x}{dx} = \frac{1}{x}$ ,

$\frac{d \log_n x}{dx} = \frac{1}{x \ln n}$ ,

невизначений інтеграл

$\int \ln x\,dx = x(\ln x -1) + C$ .

[ред.] Логарифмічна функція комплексної змінної

Ріманова поверхня, на якій задається функція $\text{Ln}\; z$

Використовуючи розклад у ряд Тейлора, множину визначення логарифмічної функції можна розширити на комплексні числа.

Можна також скористатися формулою Муавра. Комплексне число z можна подати у вигляді

$z = r e^{i\varphi}$

Тоді

$\ln z = \ln r + i\varphi$

Оскільки фаза $\varphi$ визначена з точністю до $2π$ , то функція

$\text{Ln}\; z = \ln r + i\varphi + i2k\pi$ ,

де k - будь-яке ціле число, теж є логарифмом комплексного числа z. Ця функція має нескінчення число значень, якщо брати її визначення на комплексній площині, але є однозначною, якщо її визначити на рімановій поверхні із нескінченним числом листів. Розріз і склеювання проводиться від 0 до $-\infty$ вздовж осі x.