Гіперболічні функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
sinh, cosh та tanh

Гіперболі́чні фу́нкції — сімейство елементарних функцій, які виражаються через експоненту і тісно пов'язанні з тригонометричними функціями.

Визначення[ред.ред. код]

Визначення гіперболічних функцій через гіперболу
Один із способів визначення тригономітричних функцій через одиничне коло

Гіперболічні функції задаються такими формулами:

  • гіперболічний синус:
\mathop{\mathrm{sh}}\,x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} (в іноземній літературі позначається \sinh x)

Існує сленгова назва: «шинус».

  • гіперболічний косинус:
\mathop{\mathrm{ch}}\,x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} (в іноземній літературі позначається \cosh x)

Існує сленгова назва: «чосинус», «кошинус». Лінію гіперболічного косинусу називають ланцюговою, бо саме таку форму приймає ланцюг або мотузка, що підвисили за обидва кінці в однорідному гравітаційному полі.

  • гіперболічний тангенс:
\mathop{\mathrm{th}}\,x=\frac{\mathop{\mathrm{sh}}\,x}{\mathop{\mathrm{ch}}\,x} (в іноземній літературі позначається \tanh x).

Існують сленгові назви: «щангенс», «цангенс».

Іноді також визначається

  • гіперболічний котангенс:
\mathop{\mathrm{cth}}\,x=\frac{1}{\mathop{\mathrm{th}}\,x},
  • гіперболічні секанс і косеканс:
\mathop{\mathrm{sch}}\,x=\frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}\,x},
\mathop{\mathrm{csch}}\,x=\frac{1}{\mathop{\mathrm{sh}}\,x}.

Властивості[ред.ред. код]

Зв'язок з тригонометричними функціями[ред.ред. код]

Гіперболічні функції виражаються через тригонометричні функції від уявного аргументу.


\operatorname{sh}x=-i\sin(ix),\quad
\operatorname{ch}x=\cos(ix),\quad
\operatorname{th}x=-i\operatorname{tg}(ix)
.

\operatorname{sh}(ix) = i\operatorname{sin}x,\quad
\operatorname{ch}(ix) = \cos x,\quad
\operatorname{th}(ix)= i\operatorname{tg}x
.

Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції і гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

Важлива тотожність[ред.ред. код]

  1. \operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1
  2. Парність:
    1. \operatorname{sh}(-x)=-\operatorname{sh} x
    2. \operatorname{ch}(-x)=\operatorname{ch} x
    3. \operatorname{th}(-x)=-\operatorname{th} x
  3. Формули додавання:
    1. \operatorname{sh}(x \pm y)=\operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}y \pm \operatorname{sh}y\,\operatorname{ch}x
    2. \operatorname{ch}(x \pm y)=\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y \pm \operatorname{sh}y\,\operatorname{sh}x
    3. \operatorname{th}(x \pm y)=\frac{\operatorname{th}x \pm \operatorname{th}y}{1 \pm \operatorname{th}x\operatorname{th}y}
  4. Формули подвоєного кута:
    1. \operatorname{sh}2x=2\operatorname{ch}x\,\operatorname{sh}x=\frac{2\,\operatorname{th}x}{1-\operatorname{th}^2x}
    2. \operatorname{ch}2x=\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x=2\operatorname{ch}^2x-1=1+2\operatorname{sh}^2x=\frac{1+\operatorname{th}^2x}{1-\operatorname{th}^2x}
    3. \operatorname{th}2x=\frac{2\operatorname{th}x}{1+\operatorname{th}^2x}
    4.  \operatorname{cth}2x=\frac{1}{2} (\operatorname{th}x+\operatorname{cth}x)
    5.  \operatorname{th}x=\frac{\operatorname{ch}2x-1}{\operatorname{sh}2x}=\frac{\operatorname{sh}2x}{1+\operatorname{ch}2x}
    6.  \operatorname{ch}2x \pm \operatorname{sh}2x=(\operatorname{sh}x\pm\operatorname{ch}x)^2
  5. Формули кратних кутів:
    1. \operatorname{sh}3x=4\operatorname{sh}^3x+3\operatorname{sh}x
    2. \operatorname{ch}3x=4\operatorname{ch}^3x-3\operatorname{ch}x
    3. \operatorname{th}3x=\operatorname{th}x\frac{3+\operatorname{th}^2x}{1+3\operatorname{th}^2x}
    4. \operatorname{sh}5x=16\operatorname{sh}^5x+20\operatorname{sh}^3x+5\operatorname{sh}x
    5. \operatorname{ch}5x=16\operatorname{ch}^5x-20\operatorname{ch}^3x+5\operatorname{ch}x
    6. \operatorname{th}5x=\operatorname{th}x\frac{\operatorname{th}^4x+10\operatorname{th}^2x+5}{5\operatorname{th}^4x+10\operatorname{th}^2x+1}
  6. Добуток
    1. \operatorname{sh}x\operatorname{sh}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)-\operatorname{ch}(x-y)}{2}
    2. \operatorname{sh}x\operatorname{ch}y=\frac{\operatorname{sh}(x+y)+\operatorname{sh}(x-y)}{2}
    3. \operatorname{ch}x\operatorname{ch}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)+\operatorname{ch}(x-y)}{2}
    4. \operatorname{th}x\operatorname{th}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)-\operatorname{ch}(x-y)}{\operatorname{ch}(x+y)+\operatorname{ch}(x-y)}
  7. Суми
    1. \operatorname{sh}x \pm \operatorname{sh}y=2\operatorname{sh}\frac{x \pm y}{2}\operatorname{ch}\frac{x \mp y}{2}
    2. \operatorname{ch}x + \operatorname{ch}y=2\operatorname{ch}\frac{x+y}{2}\operatorname{ch}\frac{x -y}{2}
    3. \operatorname{ch}x - \operatorname{ch}y=2\operatorname{sh}\frac{x+y}{2}\operatorname{sh}\frac{x -y}{2}
    4. \operatorname{th}x \pm \operatorname{th}y=\frac{\operatorname{sh}x \pm y}{\operatorname{ch}x\operatorname{ch}y}
  8. Формули пониження степеня
    1. \operatorname{ch}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x + 1}{2}
    2. \operatorname{sh}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x - 1}{2}
  9. Похідні:
    1. (\operatorname{sh}x)^\prime=\operatorname{ch}x
    2. (\operatorname{ch}x)^\prime=\operatorname{sh}x
    3. (\operatorname{th}x)^\prime=\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}
    4. \operatorname{sh}x=\int\limits^x_0\operatorname{ch}tdt
    5. \operatorname{ch}x=1+\int\limits^x_0\operatorname{sh}tdt
    6. \operatorname{th}x=\int\limits^x_0\frac{dt}{\operatorname{ch}^2t}
  10. Інтеграли:
    1. \int\operatorname{sh}x\,dx=\operatorname{ch}x+C
    2. \int\operatorname{ch}x\,dx=\operatorname{sh}x+C
    3. \int\operatorname{th}x\,dx=\ln\operatorname{ch}x+C
    4. \int\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}\,dx=\operatorname{th}x+C
    5. \int\frac{1}{\operatorname{sh}^2x}\,dx=-\operatorname{cth}x+C
Дивись також: Таблиця інтегралів гіперболічних функцій, Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій

Нерівності[ред.ред. код]

При всіх x\in\mathbb{R} виконується:

  1.  0 \le \operatorname{ch}x-1 \le |\operatorname{sh} x| < \operatorname{ch}x
  2.  | \operatorname{th}x | <1

Розкладання в степенні ряди[ред.ред. код]

\operatorname{sh}x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\operatorname{ch}x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}
\operatorname{th}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad|x|<\frac{\pi}{2}
\operatorname{cth}x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\ldots=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad0<|x|<\pi (Ряд Лорана)

Тут B_{2n} — числа Бернуллі.

Графіки[ред.ред. код]

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

Аналітичні властивості[ред.ред. код]

Гіперболічний синус і гіперболічний косинус аналітичний у всій комплексній площині, за винятком істотно особливої точки на нескінченності. Гіперболічний тангенс аналітичний скрізь, окрім полюсів в точках z=i\pi(n+1/2), де n — ціле. Вирахування у всіх цих полюсах рівні одиниці. Гіперболічний котангенс аналітичний скрізь, окрім точок z=i\pi n, вирахування його в цих полюсах також рівні одиниці.

Див. також[ред.ред. код]