Переставні матриці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадратні матриці \ A, \; B з комплексними елементами називаються переставни́ми (комутуючими), якщо

\ AB=BA.

Властивості[ред.ред. код]

AB=BA \quad \Rightarrow \quad \exists \; v, \lambda_1, \lambda_2: \;\; Av=\lambda_1 v, \; Bv=\lambda_2 v.
ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних матриць. Доведення за допомогою слабкої теореми Гільберта про нулі.
  • Якщо матриці A, B є переставними та нормальними, то в них всі власні вектори є спільними:
\exists \; U, \Lambda_1, \Lambda_2: \quad A=U\Lambda_1 U^*, \quad B=U\Lambda_2 U^*, \quad U^*U=I.
ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних нормальних матриць.
  • Наслідок з попередньої властивості: якщо матриці A, B є нормальними та переставними, тоді матриці:
\ AB, A+B, kA — теж будуть нормальними та переставними.
\exists \; P, L_1, L_2: \quad A=P^{-1} L_1 P, \quad B=P^{-1} L_2 P, \quad \det(P)\ne 0.

Приклад[ред.ред. код]

  • Одинична матриця є переставною зі всіма матрицями і тому має з кожною з них хоча б один спільний власний вектор.

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]