Комутативність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Комутативність (переставний закон) — властивість бінарної операції, яка полягає в тому, що порядок операндів не впливає на результат операції. Бінарна операція на множині є комутативною, якщо

для всіх . В іншому разі є некомутативною. Якщо

для окремої пари елементів , тоді кажуть, що і комутують.

Найвідомішими прикладами комутативних бінарних операцій є операції додавання «+» і множення «×» дійсних чисел, наприклад:

  • 4 + 5 = 5 + 4 (оскільки обидва вирази дорівнюють 9)
  • 2 × 3 = 3 × 2 (оскільки обидва вирази дорівнюють 6)

Серед некомутативних бінарних операцій:

Група, операція якої є комутативною, називається абелевою групою.

Кільце є комутативним, якщо його операція множення є комутативною; додавання є комутативним у будь-якому кільці (за означенням кільця).

Математичне визначення[ред. | ред. код]

Термін «комутативність» використовується в декількох пов'язаних значеннях.[1][2]

1. Бінарна операція над множиною називається комутативною якщо:

Операція, що не задовольняє вищенаведеній властивості називається некомутативною.

2. Говорять, що комутує з під час виконання , якщо:

3. Бінарна функція називається комутативною якщо:

Приклади[ред. | ред. код]

Комутативні операції в повсякденному житті[ред. | ред. код]

Збирання до купи яблук, що можна розглядати як наочний приклад додавання натуральних чисел, є комутативним.

Одягання шкарпеток є комутативною операцією, оскільки не важливо яка шкарпетка вдягається першою. Інакше кажучи, результат (вдягнені будуть обидві шкарпетки) залишається однаковим. На противагу, одягання куртки і сорочки не є комутативною.

Комутативність додавання можна спостерігати під час розрахунків у крамниці. У якому порядку б не було впорядковано рахунок, сума завжди буде однаковою.

Комутативні операції в математиці[ред. | ред. код]

Додавання векторів є комутативним, оскільки .

Два добре відомих приклади комутативних бінарних операцій:[1]

Наприклад 4 + 5 = 5 + 4, оскільки обидва вирази дорівнюють 9.
Наприклад, 3 × 5 = 5 × 3, оскільки обидва вирази дають результат 15.
Наприклад, функція логічної еквівалентності є такою самою і для . Функцію також формулюють як умову « тоді й лише тоді, коли », або записують як , або .

Інші приклади комутативних бінарних операцій: додавання і множення комплексних чисел; додавання векторів; перетин, об'єднання та симетрична різниця множин.

Важливими некомутативними операціями є множення матриць та векторне множення.

Некомутативні операції в математиці[ред. | ред. код]

Віднімання і ділення[ред. | ред. код]

Віднімання є некомутативною операцією, оскільки .

Ділення є некомутативною операцією, оскільки .

Функції істиності[ред. | ред. код]

Деякі функції істинності не є комутативними, оскільки таблиця істинності буде різною, якщо змінювати порядок операндів. Наприклад, таблиця істинності для і буде такою:

0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0

Множення матриць[ред. | ред. код]

Операція множення матриць майже в усіх випадках не є комутативною, наприклад:

Векторний добуток[ред. | ред. код]

Векторний добуток двох векторів тривимірного простору є антикомутативним; тобто .

Історія і етимологія[ред. | ред. код]

Перше відоме використання терміну було у французькому журналі, опублікованому в 1814

Свідчення про використання властивості комутативності існують ще зі стародавніх часів. У Єгипті використовували властивість комутативності операції множення, аби спростити розрахунок добутку.[3][4] Евклід у своїй книзі Начала також припустив про наявність властивості комутативності для множення.[5] Формальне використання властивості комутативності виникло наприкінці 18-го і на початку 19-го століть, коли математики почали роботу над теорією функцій. Сьогодні властивість комутативності є базовою для математики та використовується в багатьох її розділах.

Перше письмове використання терміну комутативність належить Франсуа Сервоісу[en] в 1814[6][7], який використав слово комутативність під час описання функцій, які, як зараз називають, мали властивість комутативності. Слово поєднує в собі французьке слово commuter, що означає «поміняти місцями» та суфікс -ative, що означає «прагнути до», тому дослівно слово означає «прагне до заміни місцями».

Споріднені властивості[ред. | ред. код]

Асоціативність[ред. | ред. код]

Докладніше: Асоціативність

Властивість асоціативності тісно пов'язана з властивістю комутативності. Асоціативна властивість виразу, що містить два або більше операндів, над якими здійснюється однакова операція, говорить те, що порядок виконання операцій у такому разі не змінює кінцевий результат допоки порядок операндів не змінюється. На відміну від цього, властивість комутативності говорить про те, що порядок операцій не впливає на результат.

Більшість комутативних операцій, що зустрічаються на практиці є також часто асоціативними. Однак це не означає, що комутативність передбачає асоціативність. Як контраргумент приведено такий приклад функції

яка є комутативною (зміна місцями і не призведе до зміни результату), але вона не буде асоціативною (оскільки, для прикладу, , але ).

Дистрибутивність[ред. | ред. код]

Докладніше: Дистрибутивність

Симетрія[ред. | ред. код]

Графік, що показує симетрію функції додавання

Деякі форми симетрії можуть бути безпосередньо пов'язані з комутативністю операцій. Коли комутативний оператор записується як бінарна функція, тоді результівна функція є симетричною вздовж прямої . Наприклад, якщо ми маємо функцію , що представляє додавання (комутативна операція), то , і тоді є симетричною функцією, як видно із зображення праворуч.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. а б Krowne, p.1
  2. Weisstein, Commute, p.1
  3. Lumpkin, p.11
  4. Gay and Shute, p.?
  5. O'Conner and Robertson, Real Numbers
  6. Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
  7. O'Conner and Robertson, Servois

Джерела[ред. | ред. код]