Перетин розшарування

Визначення

Перетин s розшарування p : E → B. Перетин s ідентифікує базовий простір B з підпростором s(B) просторуE.

Нехай $(E,B,\pi ,F)$ — локально тривіальне розшарування з загальним простором $E$, базовим простором $B$, проективним відображенням $\pi \colon E\to B$ і стандартним шаром $F$. Перетином розшарування (іноді використовується термін переріз розшарування) називається ін'єктивне неперервне відображення $s\colon B\to E,$ таке що

$(\pi \circ s)(x)=\pi (s(x))=x$

для всіх $x\in B$. Таким чином відображення $s$ є правим оберненим до відображення $\pi$. Множину всіх (глобальних) перетинів позначають $\Gamma (B,E)$ або просто $\Gamma (E)$.

У диференціальній геометрії $E$, $B$ і $F$ є гладкими многовидами, відображення $\pi \colon E\to B$ теж є гладким і в означення перетину теж вимагається диференційовність того ж класу.

Приклади

• Нехай $(F\times B,B,\pi ,F)$ є тривіальним розшаруванням і $\pi \colon F\times B\to B$ є простою проєкцією на другий аргумент. Тоді перетин $s\colon B\to F\times B$ є ізоморфним до деякого неперервного відображення $B\to F.$
• Багато важливих об'єктів у топології і диференціальній геометрії можуть бути визначені як перетини відповідних розшарувань. Зокрема:

1. Векторне поле $v$ на многовиді $M$ є перетином $v\colon M\to TM$, дотичного розшарування $x\in T_{p}M$ на многовиді$M$.
2. Подібним чином диференціальна форма степеня $k$ — це гладкий перетин $k$-ого зовнішнього степеня кодотичного розшарування многовиду.
3. Більш загально тензорне поле типу $(p,\;q)$ є перетином тензорного розшарування типу $(p,\;q)$.

Локальні і глобальні перерізи

Коли перетин визначений на всьому базовому просторі він називається глобальним. Якщо натомість $U\subset B$ — відкрита підмножина і для розшарування $(E,U,\pi ,F)$ існує перетин $s\colon U\to E$ такий що $\pi (s(x))=x$ для всіх $x\in U$ то цей переріз називається локальним. З локальної тривіалізації очевидно, що кожне локально тривіальне розшарування має локальні перерізи в околі кожної своєї точки.

Натомість розшарування може не мати глобального перетину. Наприклад стрічка Мебіуса з видаленим нульовим перетином є локально тривіальним розшаруванням з базовим простором $S^{1}$ (звичайним колом) і стандартним шаром $\mathbb {R} \setminus \{0\}$. На цьому розшаруванні немає глобального перетину.

Іншим прикладом може бути, наприклад, реперне розшарування на кулі $S^{2}$, тобто розшарування де $B=S^{2}$ і для кожної точки $x\in S^{2}$ елементами шару $\pi ^{-1}(x)$ є всі упорядковані базиси дотичного простору $T_{x}S^{2}$. Глобального перетину для цього розшарування немає оскільки не існує навіть всюди ненульового векторного поля на кулі.

Натомість кожне векторне і тензорне розшарування мають глобальні перетини (зокрема нульові перетини). Головне розшарування має глобальний перетин тоді і тільки тоді, коли воно є тривіальним.

Література

• Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.
• Norman Steenrod, The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.