Підсумовуючі функції

Підсумовуюча функція  — функція, що ставить у відповідність ряду $S$ його значення $f(S)$. Не “класичні” способи для встановлення відповідності ряд–число використовуються в регуляризаціях, теорії чисел (Аналітичне продовження дзета-функції Рімана) та інших областях математики та фізики.

Обґрунтування

Важливо розуміти, що знак рівності в, наприклад, $\sum _{n=1}^{\infty }n=-{\frac {1}{12}}$не означає, що сума натуральних чисел $1+2+3+4+\cdots$ прямо дорівнює від’ємному дробовому числу.

Визначити суму ряду як границю часткових сум (класичне визначення) було доволі природно, але таке визначення не може дати числовий результат для багатьох рядів (як у прикладі вище).

Альтернативні підсумовуючі функції та поняття регуляризацій в цілому буде легше сприймати, якщо “забути” про класичне визначення і намагатися прирівнювати ряди до чисел на підставі інших “подібностей”.

Розглядаючи ряд

$1+2+4+8+\cdots$

можна помітити, що, якщо помножити його на 2 і додати 1, то ряд перейде в себе ж. Це цікава властивість і точно таку ж властивість має число −1, а інші числа  — ні (зверніть увагу, що при, наприклад, множенні на 4 і додаванні 3 висновок той же).

Це, звісно, не строге доведення, але такий приклад дає розуміння того, чому існують альтернативні підсумовуючі функціїю.

Властивості

Для підсумовуючих функцій виконуються наступні властивості:

• Лінійність: якщо $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}=A$ і $\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}=B$, то $\sum \limits _{n=0}^{\infty }(\alpha a_{n}+\beta b_{n})=\alpha A+\beta B$.

• Стабільність (інваріантність до зсуву): якщо $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}=A$, то $a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}=A$.

• Регулярність: якщо $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}=A$ в класичному сенсі, то $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}=A$ і з іншою підсумовуючою функцією.

Залежно від поставленої мети допускається невиконання якоїсь умови вище, або накладання додаткових. Але виконання трьох згаданих вище умов уже достатньо, щоб вважати функцію підсумовуючою.

Приклади

Класичне підсумовування

У класичному визначенні шукаємо границю часткових сум. Тобто,

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}a_{n}$.

Наприклад,

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=\lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{2^{n}}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {1-{\frac {1}{2}}^{m}}{1-{\frac {1}{2}}}}=2$.

Підсумовування за Чезаро

У такому випадку шукаємо границю середнього арифметичного часткових сум. Тобто,

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}{\frac {\sum _{k=0}^{n}a_{n}}{m+1}}$.

Наприклад,

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=\lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}{\frac {\sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}}{m+1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2m+3+(-1)^{m}}{4m+4}}={\frac {1}{2}}$.

Підсумовування за Пуассоном-Абелем

У такому випадку присвоюємо сумі значення за такою формулою:

$\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{x\to 1}\lim _{m\to \infty }\sum \limits _{n=0}^{m}a_{n}x^{n}$.

Наприклад,

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}n=\lim _{x\to -1}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=1}^{m}nx^{n-1}=\lim _{x\to -1}{\frac {1}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{4}}$.

Див. також

• Збіжність за Чезаро
• Збіжність за Пуассоном-Абелем
• Збіжність за Борелем
• Збіжність за Ейлером
• Дзета-функція Рімана

Література

• Hardy, G. H. (2000). Dіvergent serіes. Amerіcan Mathematіcal Socіety, 334.
• Фихтенгольц, Г. М. (1966). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Рипол Классик.