Рівняння Кортевега – де Фріза

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Кортевега-де Фріза (KdV, КдФ або КдВ для стислості) — нелінійне диференціальне рівняння з частинними похідними вигляду:

u_{t} +\alpha\, uu_x+u_{xxx}=0,\,\,\alpha\not=0,

яке являє собою універсальну модель для опису одномірних нелінійних хвиль в середовищах з дисперсією без дисипації, в яких закон дисперсії для лінійних хвиль описується двома членами розкладу по степеннях хвильового числа k: \, w=sk(1+\epsilon k^2). Запропоноване Кортевегом (D.Korteweg) та Г. де Фрізом (G. de Vries) в 1895 у зв'язку з задачею про хвилі на поверхні рідини.

Значення коефіцієнта \alpha
можна зробити рівним будь-якому числу лінійним перетворенням змінних. Найчастіше в літературі можно зустріти \alpha=6
[1] [2], \alpha=1
[3], \alpha=-6
[4] [5].

Солітонні розв'язки[ред.ред. код]

Задамося метою знайти нетривіальні частинні розв'язки рівняння КдФ. Рішення будемо шукати у вигляді u(x,t)=s(x-ct). Підставляючи функцію s(x-ct) у рівняння КдФ отримаємо:

-cs_{t}+\alpha ss_{x}+s_{xxx}=0\Leftrightarrow-cs_{x}+\alpha ss_{x}+s_{xxx}=0.

Інтугруємо останню рівність по x. Враховуючи, що \int ss_{x}\,dx=s^{2}-\int s_{x}s\,dx, отримаємо:

-cs+\frac{\alpha}{2}s^{2}+s_{xx}=0.

Домножуємо отримане рівняння на 2s_{x} і знову інтегруємо його. Враховуючи, що \int s_{x}s^{2}\,dx=s^{3}-\int s\cdot2ss_{x}\,dx, \int s_{x}s_{xx}\,dx=s_{x}^{2}-\int s_{xx}s_{x}\,dx отримаємо:

-cs^{2}+\frac{\alpha}{3}s^{3}+s_{x}^{2}=0.

Нам потрібно вирішити останнє рівняння. Для того, щоб позначення не перетинались, знайдемо значення функції z(y) яка задовольняє рівнянню

-cz^{2}+\frac{\alpha}{3}z^{3}+z_{y}^{2}=0.

Легко перевірити безпосередньою підстановкою, що рішення має вигляд z(y)=\frac{3c}{\alpha ch^{2}(\frac{1}{2}y\sqrt{c}+\tilde{z_{0}})}, де \tilde{z_{0}} залежить від початкових даних. Отже, знайдене часткове рішення КдФ має вигляд:

u(x,t)=\frac{3c}{\alpha ch^{2}(\frac{1}{2}(x-ct)\sqrt{c}+\tilde{u_{0}})},

де c>0 — швидкість солітона, \tilde{u_0} — положення його центру, — довільні сталі. У 1965 Забуський і Краскал виявили [6], що це рішення, котре являє собою усамітнену хвилю, має властивість, яка не була відома раніше, а саме: таке рішення «пружно» взаємодіє з іншою такою хвилею. Вони назвали такі хвилі солітонами. Видно, що солітони з великою амплітудою виявляються вужчим і рухаються швидше, і взаємодія двох окремих солітонів подібна до зіткнення частинок. Солітон-1 з більшою енергією наздоганяє повільніший солітон-2, але не переганяє його; між ними відбувається складна нелінійна взаємодія, в результаті якої скоріший солітон-1 «передає» свою енергію повільнішому солітону-2. Відтак солітон-2 починає рухатися скоріше, а солітон-1 уповільнюється до початкової швидкості солітона-2. Хвилі-солітони таким чином відтворюють картину взаємодії двох частинок чи куль, одна з яких наздоганяє і пружно передає при зіткненні свою енергію повільнішій. Вперше цей факт був формально доведений Лаксом у 1968[3].

Але виникає питання, чому часткове рішення нелінійного рівняння має якесь значення. Коли ми маємо справу з лінійним рівнянням, скажімо, вигляду \dot{x}=A(t)x, де A(t)\in\Bbb{R}^{n\times n}, то за допомогою n лінійно незалежних часткових рішень ми можемо виразити усі рішення системи. В лінійних рівняннях в часткових похідних аналогом фундаментальної системи рішень можуть служити власні функціі -- рішення задачі Штурма-Ліувілля. Таким чином, в лінійних ріняннях значення часткових рішень зрозуміло. Але яке значення може мати часткове рішення нелінійного ріняння? До роботи Краскала та Забуськи [6] відповіді на це питання не було. Вони зробили наступне спостереження:

Нехай u(x,t) -- будь-яке нетривіальне рішення КдФ, яке прямує до нуля при x\rightarrow \pm\infty достатньо швидко. Тоді існують числа c_{1}>0,...,c_{N}>0 -- власні швидкості u(x,t), та набір фазових зсувів \theta_{1}^{\pm},...,\theta_{N}^{\pm}.


\lim\limits_{t\to\pm\infty}u(x+ct,t)=\begin{cases}
s(x-\theta_{j}^{\pm},c_{j}),c=c_{j}\\
0,c\not=c_{j},
\end{cases}

де s(x,c)=\frac{3c}{\alpha ch^{2}(\frac{1}{2}x\sqrt{c})} -- так звана усамітнена хвиля (уединенная волна, solitary wave). Читач зможе самомостійно перевірити, що для знайденного нами раніше рішення ця теорема виконується. Треба зазначити, що зовсім не очевидно, що власні швидкості у солітонів при t\rightarrow -\infty такі ж, як і при t\rightarrow +\infty. Зазначимо також, що це твердження вірно для початкової задачі рівняння КдФ з достатньо швидко прямуючими на нуль рішеннями. Поведінка при t\rightarrow \pm\infty обчислюється за початковими даними.

Це твердження говорить, що будь-яке нетривіальне рішення КдФ при великих часах поводить себе як декілька солітонних хвиль, які мають вигляд часткового рішення, яке ми знайшли на початку цієї частини. Це дає змогу зрозуміти важливість знайденного нами часткового рішення і доводить його унікальне значення, у нашому випадку, лише у рівнянні КдФ. Але виключна роль солітону виходить далеко за рамки рівняння КдФ. Солітонні розв'язки має рівняння НШ (Нелінійне рівняння Шредінгера), sin-Гордон, рівняння Кадомцева-Петвіашвілі, модифіковане рівняння КдФ (мКдФ) та інші. Всі ці рівняння (особливо, мабуть, НШ) мають виключне значення у математиці та фізиці.

Лагранжіан[ред.ред. код]

Рівняння КдФ є рівнянням руху Лагранжа-Ейлера для функції Лагранжа із такою густиною \mathcal{L}\,:

\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_x \psi\, \partial_t \psi 
+  \left( \partial_x \psi \right)^3 
-  \frac{1}{2} \left( \partial_x^2 \psi \right)^2  \quad \quad \quad \quad (1) \,

де \phi означено як

u = \frac{\partial \psi}{\partial x} = \partial_x \psi. \,

Виноски[ред.ред. код]

  1. А. Ньюэлл. Солитоны в математике и физике. Москва Мир 1989.
  2. М.Абловиц и Х.Сигур. "Солитоны и метод обратной задачи. " Москва Мир 1987.
  3. а б P. D. Lax. "Integrals of Nonlinear Equations of Evolution and Solitary Waves" Comm. on Pure and Applied Math. 21,467 (1968).
  4. Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев."Гамильтонов подход в теории солитонов", Москва "НАУКА" 1986.
  5. C. S. Gardner, J. Green, M. Kruskal, and R. Miura."Method of solving the Korteweg-de Vries equation" Phys. Rev. Lett. 19, 1095 (1967).
  6. а б N.J.Zabusky and M.D.Kruskal (1965), Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys.Rev.Lett., 15 pp. 240–243. Оригінал статті

Література[ред.ред. код]

  • Физическая энциклопедия / Под ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — 703 с.
  • Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — 480 с.
  • Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. — М.: Физматлит, 2006. — 480 с.
  • Капеллер Т., Пёшль Ю. КдФ и КАМ. — Ижевск: РХД, 2008. — 360 с.
  • Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 624 с.

Див. також[ред.ред. код]