Рівняння Кортевега – де Фріза

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Кортевега-де Фріза (KdV, КдФ або КдВ для стислості) — нелінійне диференціальне рівняння з частинними похідними вигляду:

\partial_t \phi + \partial^3_x \phi + 6\, \phi\, \partial_x \phi =0,\,

яке являє собою універсальну модель для опису одномірних нелінійних хвиль в середовищах з дисперсією без дисипації, в яких закон дисперсії для лінійних хвиль описується двома членами розкладу по степеннях хвильового числа k: \, w=sk(1+\epsilon k^2). Запропоноване Кортевегом (D.Korteweg) та Г. де Фрізом (G. de Vries) в 1895 у зв'язку з задачею про хвилі на поверхні рідини.

Солітонні розв'язки[ред.ред. код]

Для рівняння КдФ знайдені точні розв'язки різного виду, один із них — солітон, або відокремлена хвиля:

\phi(x,t)= 2 \kappa^2 \mathrm{ch}^{-2}\left[\kappa(x-4c^2t-x_0)\right]

де \kappa^2 — амплітуда солітона, x_0 — положення його центру, — довільні сталі. Спадаюче при x\rightarrow \infty початкове збурення, еволюціонуючи згідно з рівнянням КдФ, розпадається на ряд невзаємодіючих солітонів, що розповсюджуються вліво, і на осцилюючий і затухаючий фон, що розповсюджується вправо. Поведінка при t\rightarrow \infty обчислюється за початковими даними.

У 1965 Забуський і Краскал виявили[1], що це рішення, котре являє собою усамітнену хвилю, має властивість, яка не була відома раніше, а саме: таке рішення «пружно» взаємодіє з іншою такою хвилею. Вони назвали такі хвилі солітонами.

Видно, що солітони з великою амплітудою виявляються вужчим і рухаються швидше, і взаємодія двох окремих солітонів подібна до зіткнення частинок. Солітон-1 з більшою енергією наздоганяє повільніший солітон-2, але не переганяє його; між ними відбувається складна нелінійна взаємодія, в результаті якої скоріший солітон-1 «передає» свою енергію повільнішому солітону-2. Відтак солітон-2 починає рухатися скоріше, а солітон-1 уповільнюється до початкової швидкості солітона-2. Хвилі-солітони таким чином відтворюють картину взаємодії двох частинок чи куль, одна з яких наздоганяє і пружно передає при зіткненні свою енергію повільнішій.

Лагранжіан[ред.ред. код]

Рівняння КдФ є рівнянням руху Лагранжа-Ейлера для функції Лагранжа із такою густиною \mathcal{L}\,:

\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_x \psi\, \partial_t \psi 
+  \left( \partial_x \psi \right)^3 
-  \frac{1}{2} \left( \partial_x^2 \psi \right)^2  \quad \quad \quad \quad (1) \,

де \phi означено як

\phi = \frac{\partial \psi}{\partial x} = \partial_x \psi. \,

Виноски[ред.ред. код]

  1. N.J.Zabusky and M.D.Kruskal (1965), Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys.Rev.Lett., 15 pp. 240–243. Оригінал статті

Література[ред.ред. код]

  • Физическая энциклопедия / Под ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — 703 с.
  • Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — 480 с.
  • Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. — М.: Физматлит, 2006. — 480 с.
  • Капеллер Т., Пёшль Ю. КдФ и КАМ. — Ижевск: РХД, 2008. — 360 с.
  • Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 624 с.

Див. також[ред.ред. код]