Рівняння Кортевега – де Фріза

Рівняння Кортевега-де Фріза (KdV, КдФ або КдВ для стислості) — нелінійне диференціальне рівняння з частинними похідними вигляду:

$\partial_t \phi + \partial^3_x \phi + 6\, \phi\, \partial_x \phi =0,\,$

яке представляє собою універсальну модель для опису одномірних нелінійних хвиль в середовищах з дисперсією без дисипації, в яких закон дисперсії для лінійних хвиль описується двома членами розкладу по степеннях хвильового числа $k: \, w=sk(1+\epsilon k^2)$. Запропоноване Кортевегом (D.Korteweg) та Г. де Фрізом (G. de Vries) в 1895 у зв'язку з задачею про хвилі на поверхні рідини.

Солітонні розв'язки

Для рівняння КдФ знайдені точні розв'язки різного виду, один із них — солітон, або відокремлена хвиля:

$\phi(x,t)= 2 \kappa^2 \mathrm{ch}^{-2}\left[\kappa(x-4c^2t-x_0)\right]$

де $\kappa^2$ — амплітуда солітона, $x_0$ — положення його центру, — довільні сталі. Спадаюче при $x\rightarrow \infty$ початкове збурення, еволюціонуючи згідно з рівнянням КдФ, розпадається на ряд невзаємодіючих солітонів, що розповсюджуються вліво, і на осцилюючий і затухаючий фон, що розповсюджується вправо. Поведінка при $t\rightarrow \infty$ обчислюється за початковими даними.

У 1965 Забуський і Краскал виявили, що це рішення, котре являє собою усамітнену хвилю, має властивість, яка не була відома раніше, а саме: таке рішення «пружно» взаємодіє з іншою такою хвилею. Вони назвали такі хвилі солітонами.

Видно, що солітони з великою амплітудою виявляються вужчим і рухаються швидше, і взаємодія двох окремих солітонів подібна до зіткнення частинок. Солітон-1 з більшою енергією наздоганяє повільніший солітон-2, але не переганяє його; між ними відбувається складна нелінійна взаємодія, в результаті якої скоріший солітон-1 «передає» свою енергію повільнішому солітону-2. Відтак солітон-2 починає рухатися скоріше, а солітон-1 уповільнюється до початкової швидкості солітона-2. Хвилі-солітони таким чином відтворюють картину взаємодії двох частинок чи куль, одна з яких наздоганяє і пружно передає при зіткненні свою енергію повільнішій.

Лагранжіан

Рівняння КдФ є рівнянням руху Лагранжа-Ейлера для функції Лагранжа із такою густиною $\mathcal{L}\,$:

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_x \psi\, \partial_t \psi + \left( \partial_x \psi \right)^3 - \frac{1}{2} \left( \partial_x^2 \psi \right)^2 \quad \quad \quad \quad (1) \,$

де $\phi$ означено як

$\phi = \frac{\partial \psi}{\partial x} = \partial_x \psi. \,$

Література

• Физическая энциклопедия / Под ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — 703 с.
• Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — 480 с.
• Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. — М.: Физматлит, 2006. — 480 с.
• Капеллер Т., Пёшль Ю. КдФ и КАМ. — Ижевск: РХД, 2008. — 360 с.
• Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 624 с.

Див. також

• Солітон
• Дисперсійне середовище