Статистична сума

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Статисти́чна су́ма — функція параметрів статистичного ансамблю, яка несе в собі повну інформацію про термодинамічну систему.

Позначається здебільшого літерою Z і є безрозмірною величиною.

Визначення[ред.ред. код]

Квантова статистика[ред.ред. код]

Якщо фізична система, яка сладається з N часток, характеризується набором мікроскопічних станів \{|n\rangle\} з енергіями E_n , то статистична сума визначається формулою

 Z(N, V, T)   = \sum_n e^{-E_n/k_BT} .

де T — температура, kB — стала Больцмана, V — об'єм.

Статистична сума залежить від температури, об'єму, числа часток і, в загальному випадку інших екстенсивних параметрів фізичної системи, наприклад, напруженості електричного поля, якщо система знаходиться у зовнішньому полі.

Класична статистика[ред.ред. код]

У класичній механіці мікроскопічний стан системи задається неперервними величинами — координатами  q_i та імпульсами  p_i часток. У цьому випадку підсумовування заміняється інтегралом. Безрозмірність статистичної суми досягається діленням на  2\pi\hbar для кожного ступеня вільності.

 Z = \frac{1}{N!} \frac{1}{(2\pi\hbar)^s} \int e^{-H(q_i, p_i)/k_BT} dq_idp_i,

де s — число ступенів вільності,  H(q_i, p_i)  — функція Гамільтона, тобто енергія системи, виражена через узагальнені координати. Інтегрування проводиться по всьому фазовому просторі.

Множник  1/N! з'являється завдяки принципу нерозрізнюваності часток, дозволяючи уникнути парадоксу Гібса.

Вільна енергія Гельмгольца[ред.ред. код]

Вільна енергія Гельмгольца визначається через статистичну суму за формулою

 F(N,V,T) = -k_B T \text{ln}\, Z .

Оскільки всі параметри термодинамічної системи можна визначити через похідні від вільної енергії, то знання статистичної суми повністю визначає термодинамічний стан.

Ймовірність реалізації мікроскопічного стану |n \rangle задається розподілом Гібса

 w_n = \frac{1}{Z} e^{-E_n/k_BT} .

Статистична сума при змінному числі часток[ред.ред. код]

Термодинамічні системи, які можуть обмінюватися частками із середовищем, у статистичній фізиці описуються великим канонічним ансамблем. Для нього статистична сума залежить від ще однієї змінної — хімічного потенціалу.

 Z(V, T, \mu)   = \sum_N \sum_n e^{-(E_n- \mu N)/k_BT} .

У класичній фізиці

 Z(V, T, \mu) = \sum_N \frac{1}{N!} \frac{1}{(2\pi\hbar)^s} \int e^{-(H(q_i, p_i)-\mu N)/k_BT} dq_idp_i.

Визначена таким чином фунція отримала назву велика статистична сума.

Приклади[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Федорченко А.М. (1993). Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2. Київ: Вища школа. , 415 с.
  • Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1976). Теоретическая физика. т. V. Статистическая физика. Часть 1. Москва: Наука. 
  • Залевски К. (1973). Феноменологическая и статистическая термодинамика. Москва: Мир.