Тензор енергії-імпульсу

Тензор енергії-імпульсу - симетричний 4-тензор, визначений у просторі-часі, який водночас задає густину енергії та її потоків і визначає закон зміни цих величин при переході від однієї системи відліку до іншої.

Тензор енергії-імпульсу в загальному випадку має вигляд:

$T = \left( \begin{matrix} W & S_x/c & S_y/c & S_z/c \\ S_x/c & \hat \sigma_{xx} & \hat \sigma_{xy} & \hat \sigma_{xz} \\ S_y/c & \hat \sigma_{yx} & \hat \sigma_{yy} & \hat \sigma_{yz} \\ S_z/c & \hat \sigma_{zx} & \hat \sigma_{zy} & \hat \sigma_{zz} \end{matrix} \right)$

де W - густина енергії, $S_i$ - потік енергії в напрямку, який задається координатою i, $\hat \sigma_{ij} = \rho v_i v_j + \sigma_{ij}$, де $\sigma_{ij}$ - тензор у звичайному просторі, який називають тензором напружень.

Для тензора енергії-імпульсу справедливе співвідношення

$\frac{\partial T^k_i}{\partial x^k} = 0$,

яке є локальним виразом законів збереження енергії та імпульсу.

Очевидна також симетрія тензора енергії-імпульсу $T_{ij}$ щодо перестановок індексів. Ця властивість виражає локальний закон збереження моменту імпульса.

Значення тензора енергії-імпульсу в тому, що він входить до основного рівняння загальної теорії відносності - рівняння Ейнштейна, і, таким чином дозволяє доповнити ці рівняння рівннями стану речовини.

Класичний розгляд неперервої речовини

В класичній механіці рух неперервної речовини описує гідродинаміка і теорія пружності твердих тіл. Кожна частинка речовини в точці 3-вимірного простору (x, y, z) і в деякий момент часу t описується густиною:

$(1) \qquad \rho = \rho(x, y, z, t) = {d m \over d V}$

а також швидкістю в цій точці:

$(2) \qquad \mathbf{v} = \mathbf{v}(x, y, z, t)$

і тензором напружень $\sigma_{\alpha \beta}$, який описує силову взаємодію частинки речовини з сусідніми частинками.

$(3) \qquad \sigma_{\alpha \beta} = \sigma_{\alpha \beta} (x, y, z, t)$

У випадку рідини чи газу, тензор напружень діагональний і виражається через тиск $p$ формулою:

$(4) \qquad \sigma_{\alpha \beta} = p \delta_{\alpha \beta}$

тобто тиск діє в усіх напрямках однаково (закон Паскаля).

Релятивістський розгляд неперервої речовини

Як відомо, енергія та імпульс повинні розглядатися в поєднанні зі швидкістю, що описується чотири-вектором енергії-імпульсу:

$(6) \qquad p_{\alpha} = \left \{ {E \over c}, \, p_x, \, p_y, \, p_z \right \}$

Оскільки речовина "розмазана" в просторі, виділимо в якийсь момент часу ($t = t_0$) елемент об'єму $\Delta V$. Величина чотири-вектора енергії-імпульсу $\Delta p_{\alpha}$ для частини речовини, що потрапила в цей об'єм, пропорційна самому об'єму з деякими коефіцієнтами пропорційності $\tilde \rho_{\alpha}$:

$(7) \qquad \Delta p_{\alpha} = \tilde \rho_{\alpha} \Delta V$

Ліва частина цього рівняння є чотири-вектором. Дослідимо, з точки зору тензорного аналізу, що собою являє добуток в правій частині рівняння.
Почнемо з тривимірного об'єму $\Delta V$, представивши його у вигляді паралелепіпеда, побудованого на трьох векторах $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$. Ці вектори можна вважати чотири-векторами, з нульовою першою (часовою) координатою. Об'єм є величиною тензора третього рангу, що складений зовнішнім добутком цих векторів:

$(8) \qquad \Delta V_{\alpha \beta \gamma} = \left ( \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c} \right )_{\alpha \beta \gamma}$

Користуючись одиничним антисиметричним тензором, ми можемо також скласти дуальний чотири-вектор:

$(9) \qquad \Delta V^{\lambda} = i \varepsilon^{\lambda \alpha \beta \gamma} a_{\alpha} b_{\beta} c_{\gamma} = \sqrt{-g} \hat \varepsilon^{\lambda \alpha \beta \gamma} a_{\alpha} b_{\beta} c_{\gamma}$

де g - детермінант метричного тензора.

В цій формулі множник уявної одиниці введено для того, щоб компоненти вектора $\Delta V^{\lambda}$ були дійсними числами. Величина цього вектора дорівнює об'єму $\Delta V$, а напрям ортогональний до складових векторів $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$. Тобто у вибраній системі координат він напрямлений вздовж осі часу:

$(10) \qquad \Delta V^{\lambda} = \left \{ {\Delta V \over c}, \, 0, \, 0, \, 0 \right \}$

Тепер ми можемо, змінюючи при потребі позначення коефіцієнтів $\tilde \rho_{\alpha}$ переписати формулу (7) так:

$(11) \qquad \Delta p_{\alpha} = \tilde \rho_{\alpha 0} { \Delta V^0 \over c} = c \tilde \rho_{\alpha 0} \Delta V^0 + c \tilde \rho_{\alpha 1} \Delta V^1 + c \tilde \rho_{\alpha 2} \Delta V^2 + c \tilde \rho_{\alpha 3} \Delta V^3$

У цій формулі ми спочатку вели ще один індекс "нуль" у позначенні коефіцієнтів, а потім чисто формально додали ще три нульові доданки (оскільки згідно з (10) просторові компоненти вектора $\Delta V$ дорівнюють нулю).

Права частина формули (11) має вигляд добутку швидкості світла на згортку тензора другого рангу з вектором. Позначимо тензор $T_{\alpha \beta} = c \tilde \rho_{\alpha \beta}$ і назвемо його тензором енергії-імпульсу. Тоді чотири-вектор енергії-імпульсу речовини, яка потрапила в елемент об'єму $\Delta V$, згідно з формулою (11) запишеться у вигляді згортки тензора енергії-імпульсу з чотиривектором об'єму:

$(12) \qquad \Delta p_{\alpha} = T_{\alpha \beta} \Delta V^{\beta}$

Розписуючи покомпонентно формулу (12) і враховуючи (6) знаходимо, що коли $\alpha = 0$

$(13) \qquad {\Delta E \over c} = T_{00} \Delta V^0 = T_{00} {\Delta V \over c}$

$(13a) \qquad T_{00} = {\Delta E \over \Delta V}$

тобто верхній лівий елемент матриці $T$ має смисл густини енергії.

Тепер прирівняємо індекс $\alpha$ одній з просторових координат, наприклад $\alpha = 1$. Тоді

$(14) \qquad \Delta p_1 = T_{10} \Delta V^0 = T_{10}{\Delta V \over c}$

Звідки ми можемо виразити $T_{10}$ двома способами, беручи до уваги зв'язок імпульса з масою $\Delta p_1 = \Delta m v_1$ та формулу Ейнштейна $\Delta E = \Delta m c^2$:

$(15) \qquad T_{10} = c {\Delta p_1 \over \Delta V} = {1 \over c} v_1 {\Delta E \over \Delta V}$

Відповідно маємо два трактування компоненти $T_{10}$: або густина проекції імпульсу, помножена на швидкість світла, або потік енергії в напрямку осі абсцис, поділений на швидкість світла.

Закон збереження енергії та імпульсу

В класичній механіці сукупний імпульс системи фізичних тіл і електромагнітного поля зберігається, тобто не змінюється з часом. Те саме стосується енергії, якщо розглядити дію тільки консервативних сил. Спробуємо вияснити, як ці закони збереження відображаються в теорії відносності на властивостях тензора енергії-імпульсу.

Почнемо з того, що енергія і імпульс утворюють чотири-вектор (6). Операцію додавання двох просторово-рознесених векторів можна здійснити, здійснивши паралельне перенесення одного вектора в точку знаходження іншого. Така операція буде однозначною лише для плоского простору, з нульовим тензором Рімана. Отже почнемо з розгляду невеликої, обмеженої в просторі механічної системи, гравітаційним полем якої (а отже і викривленням простору) можна знехтувати. Для цього треба, щоб усі маси тіл були досить малими. Систему координат будемо вважати прямокутною декартовою.

Виберемо фіксований момент часу $t=t_{(1)}$ i знайдемо сукупний чотири-вектор енергії-імпульсу системи, проінтегрувавши формулу (12) по всьому тривимірному простору (який є гіперплощиною в чотиривимірному просторі-часі):

$(16) \qquad P^{(1)}_i = \int_{t=t_{(1)}} T_{i0} d V^0$

В інший момент часу $t = t_{(2)}$ чотири-вектор енергії-імпульсу залишиться незмінним, і нульову різницю ми можемо записати у вигляді інтеграла по чотиривимірному прошарку між двома гіперплощинами:

$(17) \qquad 0 = P^{(2)}_i - P^{(1)}_i = \int \left ( T_{i0}\big|_{t_{(2)}} - T_{i0}\big|_{t_{(1)}} \right ) d V^0 = \int {\partial T_{i0} \over \partial t} d t d V^0 = \int {\partial T_{i0} \over \partial x_0} d \tau$

В останньому інтегралі диференціал $d \tau$ є інваріантним елементом чотиривимірного об'єму (див. Інтегрування по об'єму многовида):

$(18) \qquad d \tau = d (ct) d V^0 = d x_0 d V^0 = \sqrt{-g} d x^0 d x^1 d x^2 d x^3$

Оскільки всі фізичні закони мають носити тензорний характер (а отже не залежати від вибору системи координат), то і підінтегральну функцію в правій частині (17) ми повинні замінити на істинний скаляр:

$(19) \qquad \nabla^j T_{ij} = g^{jk} {\partial T_{ij} \over \partial x^k} = {\partial T_{i0} \over \partial x^0} - {\partial T_{i1} \over \partial x^1} - {\partial T_{i2} \over \partial x^2} - {\partial T_{i3} \over \partial x^3}$

диференціальний оператор $\nabla^j = g^{jk} \nabla_k$ (називається "набла" або коваріантна похідна, див. статтю Диференціальна геометрія) визначений навіть для кривого простору формулою:

$(20) \qquad \nabla^j T_{ij} = g^{jk} \nabla_k T_{ij} = g^{jk} \left( {\partial T_{ij} \over \partial x^k} - \Gamma^s_{ki} T_{sj} - \Gamma^s_{kj} T_{is} \right)$

У випадку метрики Мінковського:

$(21) \qquad (g_{ij}) = (g^{ij}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$

метричний тензор виражається діагональною матрицею з постійними коефіцієнтами, тому символи Крістофеля в формулі (20) дорівнюють нулю, чим ми і скористалися в перетвореннях формули (19).

Перевіримо, що "зайві" три доданки в (19) не псують рівності (17). Оскільки наша механічна система обмежена в тривимірному просторі, то ми можемо взяти достатньо великий тривимірний прямокутний паралелепіпед:

$(22) \qquad P = \left \{ x_{(1)} < x < x_{(2)}, \; y_{(1)} < y < y_{(2)}, \; z_{(1)} < z < z_{(2)} \right \}$

в якому повністю міститься система в розлядуваному інтервалі часу ($t \in \left\{ t_{(1)}, \, t_{(2)} \right\}$). Це зокрема означає, що за межами паралелепіпеда $P$ (а також на його стінках), тензор енергії-імпульса $T_{ij}$ разом зі своїми похідними ${\partial T_{ij} \over \partial x^k}$ перетворюється в нуль. Тому замість формули (17) ми можемо обмежити область інтегрування паралелепіпедом $P$ і перейти від кратного до повторного інтеграла:

$(23) \qquad \int_P \nabla^j T_{ij} d \tau = \int_{t_{(1)}}^{t_{(2)}} d (ct) \int_{x_{(1)}}^{x_{(2)}} d x \int_{y_{(1)}}^{y_{(2)}} d y \int_{z_{(1)}}^{z_{(2)}} \nabla^j T_{ij} d z$

Якщо ми в самий внутрішній інтеграл (23) підставимо останній доданок формули (19), то одержимо нуль:

$(24) \qquad \int_{z_{(1)}}^{z_{(2)}} {\partial T{i3} \over \partial z} d z = T_{i3} \big|_{z_{(2)}} - T_{i3} \big|_{z_{(1)}} = 0$

оскільки на гранях паралелепіпеда $P$ тензор енергії-імпульсу перетворюється в нуль. Аналогічно і інтеграл від середніх двох доданків в формулі (19) дорівнює нулю. Таким чином, закон збереження енергії та імпульсу виражається формулою:

$(25) \qquad \int \nabla^j T_{ij} d \tau = 0$

де інтегрування проводиться в чотиривимірному просторі між двома тривимірними гіперплощинами.

Локальний закон збереження енергії та імпульсу

Формулу (25) не можна застосовувати в кривому просторі: по-перше вектори у віддалених точках не можна додавати внаслідок неоднозначності паралельного переносу векторів, а по-друге, неясно чим можна замінити паралельні гіперплощини в кривому просторі.

Окрім того, інтегральний закон збереження не накладає інтуїтивно-зрозумілого обмеження на рух матерії: вона, а також енергія і імпульс, не може перескакувати з одної точки простору у віддалену точку, вони можуть лише плавно "перетікати" через сусідні точки простору. Наприклад енергія не може потрапити з електростанції в лампочку через обірвані провода. Цим ми словесно описали локальність законів збереження енергії-імпульсу.

Звернемось до формул. В деякій точці (можна викривленого) простору-часу виберемо систему координат $Otxyz$, що є декартовою в даній точці, і в ній задамо маленький (порівняно з радіусами кривини простору та координатних ліній) чотиривимірний прямокутний паралелепіпед:

$(26) \qquad P = \left\{ t \in \{ t_{(1)}, t_{(2)}\}, \; x \in \{x_{(1)}, x_{(2)} \}, \; y \in \{y_{(1)}, y_{(2)} \}, \; z \in \{z_{(1)}, z_{(2)} \}, \; \right\}$

і запишемо формулу Остроградського-Ґаусса для дивергенції тензора енергії-імпульса в цьому паралелепіпеді:

$(27) \qquad \int_P \nabla^j T_{ij} d \tau = \oint_{\partial P} T_{ij} d V^j$

в цій формулі через $\partial P$ позначена тривимірна "поверхня" паралелепіпеда $P$, яка складається із восьми "граней", а інтегрування по цій поверхні враховує напрям вектора нормалі, який напрямлений назовні паралелепіпеда $P$.

Дві грані, які ми для наочності назвемо "дном" і "кришкою", є паралелепіпедами в тривимірному просторі $xyz$, взятими відповідно в момент часу $t_{(1)}$ і $t_{(2)}$. Тензор енергії-імпульсу якби втікає всередину паралелепіпеда через "дно" і витікає через "кришку". Різниця інтегралів по цих двох "гранях" має смисл зміни чотири-вектора енергії-імпульса в об'ємі $\Delta x \Delta y \Delta z$ за час $\Delta t$

$(28) \qquad \Delta p_i = \int_{t_{(2)}} T_{i0} d V^0 - \int_{t_{(2)}} T_{i0} d V^0$

Очевидно, ця зміна повинна потрапити в тривимірний об'єм $\Delta x \Delta y \Delta z$ через поверхню цього об'єму.

Розглянемо притік енергії через грань $x=x_{(1)}$ площею $\Delta y \Delta z$ за інтервал часу $\Delta t$:

$(29) \qquad \Delta E \approx S_x \Delta x \Delta y \Delta t$

де $S_x$ - щільність потоку енергії в напрямку осі абсцис. Порівняємо цей вираз з поверхневим інтегралом в правій частині формули (27) по відповідній тривимірній "бічній" грані паралелепіпеда $P$:

$(30) \qquad \Delta p_0 = {\Delta E \over c} = \int_{x=x_{(1)}} T_{0j} d V^j \approx T_{01} \Delta V^1 = T_{01} \Delta y \Delta z \Delta t$

Ми можемо визначити компоненту тензора енергії-імпульса

$(31) \qquad T_{0i} = {S_i \over c}$

так, щоб формули (29) і (30) відповідали одна одній. З формул (15) і (30) слідує симетрія частини компонент тензора енергії-імпульса:

$(32) \qquad T_{0i} = T_{i0}$

Тепер розглянемо притік імпульса через цю саму грань $x=x_{(1)}$ площею $\Delta y \Delta z$. Він складається з двох доданків: по-перше, через цю грань протікає матерія масою:

$(33) \qquad \Delta m = \rho v_x \Delta t \Delta y \Delta z$

яка переносить із собою імпульс:

$(34) \qquad \Delta p_i^{(1)} = \Delta m v_i = \rho v_x v_i \Delta y \Delta z \Delta t$

і по-друге, через цю грань діє момент сили від сусідньої комірки простору через внутрішні напруження речовини (тиск):

$(35) \qquad \Delta p_i^{(2)} = F_i \Delta t = \sigma_{i1} \Delta y \Delta z \Delta t$

Сумарний потік імпульса прирівняємо до потоку відповідної компоненти тензора енергії-імпульса:

$(36) \qquad \Delta p_i = \left( \rho v_x v_i + \sigma_{i1} \right ) \Delta y \Delta z \Delta t = T_{i1} d V^1$

Таким чином, ми уже визначили всі компоненти тензора енегрії-імпульса через величини класичної механіки, просторова частина цього тензора дорівнює:

$(37) \qquad T_{ij} = \rho v_i v_j + \sigma_{ij}$

Із цієї привязки і локального закону збереження енергії-імпульса слідує, що "поверхневий" інтеграл в лівій частині (27) дорівнює нулю. Оскільки паралелепіпед $P$ може бути розміщений в будь-якій точці простору-часу і може бути нескінченно малим, з рівності нулю правої частини (27) слідує, що скрізь дивергенція тензора енергії-імпульса дорівнює нулю:

$(38) \qquad \nabla^j T_{ij} = 0$

Локальний закон збереження момента імпульсу

Із виразу для компонент тензора енергії-імпульса ми бачимо, що цей тензор вийшов симетричним. І це не випадково. Розглянемо наступний антисиметричний тензор другого рангу в плоскому просторі Мінковського (або в настільки малій області викривленого простору, щоб кривину можна вуло не враховувати):

$(39) \qquad \Delta M_{ij} = x_i \Delta p_j - x_j \Delta p_i = \int_V (x_i T_{j0} - x_j T_{i0}) d V^0$

Просторові компоненти цього тензора, очевидно, дорівнюють проекціям класичного вектора моменту імпульса:

$(40) \qquad \mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$

Покажемо, що якщо інтеграл в праві частині (39) поширити на всю "поверхню" чотиривимірного паралелепіпеда, то в результаті одержимо нуль. Дійсно, поверхневий інтеграл перетворюється в інтеграл від дивергенції:

$(41) \qquad \int_{\partial P} \left ( x_i T_{jk} - x_j T_{ik} \right ) d V^k = \int_P \nabla^k \left ( x_i T_{jk} - x_j T_{ik}\right ) d\tau$

а дивергенція перетворюється в нуль внаслідок (38) і симетрії тензора енергії-імпульса:

$(42) \qquad \nabla^k \left ( x_i T_{jk} - x_j T_{ik}\right ) = \delta^k_i T_{jk} + x_i \nabla^k T_{jk} - \delta^k_j T_{ik} - \nabla^k T_{ik} = \delta^k_i T_{jk} - \delta^k_j T_{ik} = T_{ji} - T_{ij} = 0$

Рівність нулю "поверхневого" інтеграла в лівій частині (41) можна, аналогічно до того, як це було з локальним законом збереження енергії-імпульса, трактувати так: зміна моменту імпульсу в якійсь області простору можлива лише внаслідок протікання моменту імпульса через межу цієї області.

Джерела

• Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. (1967). Теория поля. Теоретическая физика, т.2. Москва: Госиздат. , 460 с.

Примітки

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.