Теорема Перрона — Фробеніуса

Теорема Перрона — Фробеніуса — теорема, що описує деякі властивості спектру додатних та невід'ємних квадратних матриць. Названа на честь німецьких математиків Оскара Перрона (який довів її для додатного випадку) і Георга Фробеніуса. Результати теореми використовуються у теорії ймовірностей (при дослідженні властивостей ланцюгів Маркова зі скінченною кількістю станів), математичній економіці (зокрема при дослідженні моделі Леонтьєва) та ін.

Твердження для додатних матриць

Нехай A — деяка додатна квадратна матриця, тобто $a_{ij}>0, \quad \forall i,j.$

Тоді виконуються такі твердження:

• Матриця A має деяке дійсне додатне власне число r.
• Всі інші власні числа матриці A (дійсні чи комплексні) за модулем менші від r.
• Дане власне значення є простим коренем характеристичного рівняння.
• Існує власний вектор, що відповідає r і має строго додатні координати
• Серед власних векторів, що відповідають іншим власним значенням немає жодного зі строго додатними координатами.
• Виконуються нерівності:

$\min_i \sum_{j} a_{ij} \le r \le \max_i \sum_{j} a_{ij}.$

Результати цього твердження залишаються в силі, якщо замість додатних матриць розглядати примітивні матриці, тобто такі деяка степінь яких є додатною матрицею.

Невід'ємні нерозкладні матриці

Матриця A розмірності n з невід'ємними елементами називається нерозкладною якщо вона задовольняє такі еквівалентні умови:

• Існує така підмножина $S \subset \{1,2,\ldots,n\},$ що виконуються рівності: $a_{ij} =0 \quad \forall i\in S,j \notin S$
• Деякою перестановкою рядків і стовпців матрицю можна привести до вигляду:

$\begin{bmatrix} B & 0 \\ C & D \end{bmatrix}$

де B і D — деякі квадратні матриці, 0 — нуль-матриця.

• $(I+A)^{n-1} > 0$

де I — одинична матриця.

• Для будь-яких (i,j) таких що $1 \leq i,j \leq n$ існує число $k \leq n,$ шо виконується: $(A^k)_{ij} > 0$

Твердження для невід'ємних нерозкладних матриць

Нехай A — деяка невід'ємна нерозкладна матриця.

Тоді виконуються такі твердження:

• Матриця A має деяке дійсне додатне власне число r.
• Всі інші власні числа матриці A (дійсні чи комплексні) за модулем не більші від цього числа r.
• Дане власне значення є простим коренем характеристичного рівняння.
• Існує власний вектор, що відповідає r і має строго додатні координати
• Серед власних векторів, що відповідають іншим власним значенням немає жодного із невід'ємними координатами.
• Якщо r є одним із k власних значень рівних за модулем r то всі ці власні значення рівні кореням рівняння $\lambda^h - r^h =0$
• Виконуються нерівності:

$\min_i \sum_{j} a_{ij} \le r \le \max_i \sum_{j} a_{ij}.$

Невід'ємні розкладні матриці

У випадку розкладних матриць згадане в теоремі власне число теж існує, проте воно не обов'язково має бути алгебраїчно простим, а відповідний вектор(вектори) можуть не бути додатними але є невід'ємними.

Див. також

• Стохастична матриця
• Ланцюги Маркова

Література

1. Пономаренко О. І.,Перестюк М. О.,Бурим В.М. Основи математичної економіки. — К.: Інформтехніка, 1995.
2. Bapat R. B., Raghavan T. E. S. Nonnegative matrices and applications, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-57167-7
3. R.A. Horn and C.R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1990 (chapter 8).
4. A. Graham, Nonnegative Matrices and Applicable Topics in Linear Algebra, John Wiley&Sons, New York, 1987.
5. Henryk Minc, Nonnegative matrices, John Wiley&Sons, New York, 1988, ISBN 0-471-83966-3
6. C. Godsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, 2001 (chapter 8).
7. A. Berman and R. J. Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, Academic Press, 1979. ISBN 0-12-092250-9