Стохастична матриця

Стохасти́чна ма́триця — матриця, усі елементи якої є невід'ємними і сума елементів рядків чи стовпців рівна одиниці. Стохастичні матриці широко використовуються в теорії ймовірностей зокрема при вивченні ланцюгів Маркова.

Визначення

• Матриця $\ P = (p_{ij})$ називається стохасти́чною справа (або просто стохастичною), якщо

$p_{ij} \ge 0, \; \forall i,j$ та $\sum\limits_{j=1}^{\infty} p_{ij} = 1, \quad \forall i.$

• Матриця називається стохасти́чною злі́ва, якщо

$p_{ij} \ge 0, \; \forall i,j$ та $\sum\limits_{i=1}^{\infty} p_{ij} = 1,\quad \forall j.$

• Матриц називається двічі стохасти́чною, якщо вона стохастична справа і зліва.

Зв'язок з ланцюгами Маркова

Стохастична матриця є матрицею ймовірностей переходів деякого ланцюга Маркова. Так якщо імовірність переходу зі стану i в стан j рівна $\ p_{ij}$ то наступна матриця буде очевидно стохастичною:

$P=\left(\begin{matrix}p_{1,1}&p_{1,2}&\dots&p_{1,j}&\dots\\ p_{2,1}&p_{2,2}&\dots&p_{2,j}&\dots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots\\ p_{i,1}&p_{i,2}&\dots&p_{i,j}&\dots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots \end{matrix}\right)$

Властивості

• Якщо $\ P$ та $\ Q$ — дві матриці стохастичні зліва (справа, двічі), то і їх добуток $\ R = P Q$ теж є стохастичною зліва (справа, двічі) матрицею.

Справді розглянемо стохастичну справа матрицю, для інших доведення аналогічне. Сума елементів i-го рядка матриці $\ PQ$ рівна:

$\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}p_{ik}q_{kj}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}\sum_{k=1}^{\infty}q_{jk}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}\cdot1=1$

тобто добуток матриць є стохастичною матрицею.

Скінченна стохастична матриця

Якщо стохастична матриця є скінченною, то згідно з теоремою Перрона-Фробеніуса найбільше за модулем її власне значення рівне одиниці. Якщо $\boldsymbol{\pi}$ деякий власний вектор, що відповідає одиниці тобто:

$\boldsymbol{\pi}P=\boldsymbol{\pi}$

то всі елементи цього вектора є невід'ємними.

Скінченна стохастична матриця $P = (p_{ij}),\; i,j=1,\ldots, N$ називається регуля́рною, якщо існує таке $n \in \N$, що

$p^{(n)}_{ij} > 0,\quad \forall i,j=1,\ldots,N$,

де $p^{(n)}_{ij}$ - елементи $n$-ої степені матриці $P$, тобто $P^n = \left(p^{(n)}_{ij}\right)$.

Якщо $P$ - регулярна стохастична матриця, то

$P^n \to \mathbf{1}^{\top} \boldsymbol{\pi}$,

де $\mathbf{1} = (1,\ldots, 1)$ — вектор розмірності $N \times 1$, усі елементи якого рівні одиниці, а $\boldsymbol{\pi}$  — визначений раніше власний вектор.

Див. також

• Ланцюги Маркова
• Теорема Перрона-Фробеніуса