Стохастична матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Стохасти́чна ма́трицяматриця, усі елементи якої є невід'ємними і сума елементів рядків чи стовпців рівна одиниці. Стохастичні матриці широко використовуються в теорії ймовірностей зокрема при вивченні ланцюгів Маркова.

Визначення[ред.ред. код]

  • Матриця \ P = (p_{ij}) називається стохасти́чною справа (або просто стохастичною), якщо
p_{ij} \ge 0, \; \forall i,j та \sum\limits_{j=1}^{\infty} p_{ij} = 1, \quad \forall i.
  • Матриця називається стохасти́чною злі́ва, якщо
p_{ij} \ge 0, \; \forall i,j та \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_{ij} = 1,\quad \forall j.
  • Матриц називається двічі стохасти́чною, якщо вона стохастична справа і зліва.

Зв'язок з ланцюгами Маркова[ред.ред. код]

Стохастична матриця є матрицею ймовірностей переходів деякого ланцюга Маркова. Так якщо імовірність переходу зі стану i в стан j рівна \ p_{ij} то наступна матриця буде очевидно стохастичною:

P=\left(\begin{matrix}p_{1,1}&p_{1,2}&\dots&p_{1,j}&\dots\\
p_{2,1}&p_{2,2}&\dots&p_{2,j}&\dots\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots\\
p_{i,1}&p_{i,2}&\dots&p_{i,j}&\dots\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots
\end{matrix}\right)

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо \ P та \ Q — дві матриці стохастичні зліва (справа, двічі), то і їх добуток \ R = P Q теж є стохастичною зліва (справа, двічі) матрицею.

Справді розглянемо стохастичну справа матрицю, для інших доведення аналогічне. Сума елементів i-го рядка матриці \ PQ рівна:

\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}p_{ik}q_{kj}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}\sum_{k=1}^{\infty}q_{jk}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}\cdot1=1

тобто добуток матриць є стохастичною матрицею.

Скінченна стохастична матриця[ред.ред. код]

Якщо стохастична матриця є скінченною, то згідно з теоремою Перрона-Фробеніуса найбільше за модулем її власне значення рівне одиниці. Якщо \boldsymbol{\pi} деякий власний вектор, що відповідає одиниці тобто:

\boldsymbol{\pi}P=\boldsymbol{\pi}

то всі елементи цього вектора є невід'ємними.

Скінченна стохастична матриця P = (p_{ij}),\; i,j=1,\ldots, N називається регуля́рною, якщо існує таке n \in \N, що

p^{(n)}_{ij} > 0,\quad \forall i,j=1,\ldots,N,

де p^{(n)}_{ij} - елементи n-ої степені матриці P, тобто P^n = \left(p^{(n)}_{ij}\right).

Якщо P - регулярна стохастична матриця, то

P^n \to \mathbf{1}^{\top} \boldsymbol{\pi},

де \mathbf{1} = (1,\ldots, 1) — вектор розмірності N \times 1, усі елементи якого рівні одиниці, а \boldsymbol{\pi}  — визначений раніше власний вектор.

Див. також[ред.ред. код]