Ін'єктивна оболонка

Ін'єктивна оболонка множини точок на площині з мангеттенською метрикою.

Ін'єктивна оболонка — побудова в метричній геометрії, яка дає найменший ін'єктивний метричний простір, що включає даний метричний простір. Ця побудова багато в чому аналогічна побудові опуклої оболонки множини в евклідовому просторі.

Ін'єктивну оболонку вперше описав Джон Ізбел 1964 року. Пізніше її кілька разів перевідкрито.

Побудова

На даному метричному просторі $M$ розглядають усі функції $f\colon M\to \mathbb {R}$ такі, що

$f(x)+f(y)\geqslant |x-y|_{M}\geqslant |f(x)-f(y)|$ для будь-яких $x,y\in M$,

для будь-якого $x\in M$ існує $y\in M$ таке, що $f(x)+f(y)-|x-y|_{M}$ довільно мале.

Далі множину цих функцій забезпечують метрикою

$|f-h|=\sup _{x\in M}|f(x)-h(x)|_{M}.$

Отриманий метричний простір $W$ називають ін'єктивною оболонкою $M$.

Зауваження

• Простір $M$ можна розглядати як підпростір $W$; необхідне відображення $M\to W$ отримують зіставленням кожній точці $x\in M$ її дистанційної функції $z\mapsto |x-z|_{M}$.

Властивості

• Ін'єктивна оболонка є ін'єктивним простором.
• Ін'єктивна оболонка компактного простору компактна.
  • Зокрема, будь-який компактний простір є підпростором компактного простору зі внутрішньою метрикою.
• Нехай ${\hat {X}}$ і ${\hat {Y}}$ — Ін'єктивні оболонки компактних метричних просторів $X$ і $Y$. Тоді

  $d_{GH}({\hat {X}},{\hat {Y}})\leq 2\cdot d_{GH}(X,Y),$

де $d_{GH}$ позначає метрику Громова — Гаусдорфа.

• Стала 2 в цій нерівності є оптимальною.