Інтерполяція Ерміта — поліноміальна інтерполяція запропонована Шарлем Ермітом, узагальнює інтерполяцію Лагранжа.
Інтерполяція Ерміта, як і інтерполяція Ньютона використовує розділені різниці.
Інтерполяція Ерміта будує многочлен мінімально-можливого степеня, що співпадає із заданою функцією в (n+1) точках, а також співпадіння m перших похідних в цих точках[1].
Тобто, вхідними даними є (n+1)(m+1) значень:
.
Отриманий многочлен буде мати степінь не більше (n+1)(m+1). Також можна задавати меншу (різну) кількість відомих похідних в кожній точці.
В послідовності
, продублюємо кожне значення (m+1) разів і назвемо її
![{\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{(n+1)(m+1)-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a737a49284610f6bb9b9ce9b63094f44cf90d49d)
і будемо рахувати розділені різниці для них. Хоча деякі з них будуть невизначенностями
.
Ці невизначеності замінимо на
.
Різниці вищих порядків (j > 2) зі співпадаючими точками замінимо на похідні вищих порядків за правилом:
![{\displaystyle {\frac {f^{(j)}(x_{i})}{j!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2bb81698bc3ea7c2ad015bfb301b0a6cbf753f)
Наблизимо функцію
. Обчислимо значення та 2 перші похідні для
, отримаємо:
x |
f(x) |
f′(x) |
f″(x)
|
−1 |
2 |
−8 |
56
|
0 |
1 |
0 |
0
|
1 |
2 |
8 |
56
|
Потроїмо точки
. Обчислимо таблицю розділених різниць:
і побудуємо многочлен
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(x)&=2-8(x+1)+28(x+1)^{2}\\&\quad -21(x+1)^{3}+15x(x+1)^{3}\\&\quad -10x^{2}(x+1)^{3}+4x^{3}(x+1)^{3}\\&\quad -1x^{3}(x+1)^{3}(x-1)+x^{3}(x+1)^{3}(x-1)^{2}\\&=x^{8}+1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/954e312bd29b6d856b2fee7abc58b364ac627d01)
взявши коефіцієнти з діагоналі (зверху), домноживши їх на
, як і в многочленах Ньютона.