Аксіома порожньої множини

Аксіомою [існування] порожньої множини називається наступне висловлювання теорії множин

\exists a\forall b\ (b\notin a)

Аксіома порожньої множини проголошує існування принаймні однієї порожньої множини, тобто множини, яка не містить ні одного елемента. Порожня множина є своєю підмножиною, але не є своїм елементом.

Інші формулювання аксіоми порожньої множини

$\neg \ (\forall a\exists b\ (b\in a))$

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\neq b)$ , що є $~\exists a\ (a=\{b:\ b\neq b\})$

$~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\in b)$ , що є $~\exists a\ (a=\{b:\ b\in b\})$

$~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow a\in b)$ , що є $~\exists a\ (a=\{b:\ a\in b\})$

$~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\not \subset b)$ , що є $~\exists a\ (a=\{b:\ b\not \subset b\})$

$~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\subsetneq b)$ , що є $~\exists a\ (a=\{b:\ b\subsetneq b\})$

$~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b])$ , що є $\exists a\ (a=\{b:\ \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b]\})$

$~\cdots$

Примітки

1. Аксіому порожньої множини можна вивести з наступної сукупності висловлювань:

$~\forall a\forall b\ (b=b\to (b\notin a\to b=b)\ )$ ,
$~\forall b\ (b=b)$ ,
$~\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b)$ .

Крім того, аксіому порожньої множини можна вивести з аксіоми нескінченності, представленої в наступному вигляді:

$~\exists a\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to \exists c\ (c\in a\ \land \ \forall d\ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b))))$

2. Керуючись аксіомою об'ємності, можна довести єдиність порожньої множини. Іншими словами, можна довести, що аксіома порожньої множини рівносильна висловлюванню: