Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Аксіомою [існування] порожньої множини називається наступне висловлювання теорії множин
∃
a
∀
b
(
b
∉
a
)
{\displaystyle \exists a\forall b\ (b\notin a)}
Аксіома порожньої множини проголошує існування принаймні однієї порожньої множини, тобто множини, яка не містить ні одного елемента. Порожня множина є своєю підмножиною , але не є своїм елементом .
Інші формулювання аксіоми порожньої множини [ ред. • ред. код ]
¬
(
∀
a
∃
b
(
b
∈
a
)
)
{\displaystyle \neg \ (\forall a\exists b\ (b\in a))}
∃
a
∀
b
(
b
∈
a
↔
b
≠
b
)
{\displaystyle \exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\neq b)}
∃
a
(
a
=
{
b
:
b
≠
b
}
)
{\displaystyle ~\exists a\ (a=\{b:\ b\neq b\})}
∃
a
∀
b
(
b
∈
a
↔
b
∈
b
)
{\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\in b)}
∃
a
(
a
=
{
b
:
b
∈
b
}
)
{\displaystyle ~\exists a\ (a=\{b:\ b\in b\})}
∃
a
∀
b
(
b
∈
a
↔
a
∈
b
)
{\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow a\in b)}
∃
a
(
a
=
{
b
:
a
∈
b
}
)
{\displaystyle ~\exists a\ (a=\{b:\ a\in b\})}
∃
a
∀
b
(
b
∈
a
↔
b
⊄
b
)
{\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\not \subset b)}
∃
a
(
a
=
{
b
:
b
⊄
b
}
)
{\displaystyle ~\exists a\ (a=\{b:\ b\not \subset b\})}
∃
a
∀
b
(
b
∈
a
↔
b
⊊
b
)
{\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\subsetneq b)}
∃
a
(
a
=
{
b
:
b
⊊
b
}
)
{\displaystyle ~\exists a\ (a=\{b:\ b\subsetneq b\})}
∃
a
∀
b
(
b
∈
a
↔
Φ
[
b
]
∧
¬
Φ
[
b
]
)
{\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b])}
∃
a
(
a
=
{
b
:
Φ
[
b
]
∧
¬
Φ
[
b
]
}
)
{\displaystyle \exists a\ (a=\{b:\ \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b]\})}
⋯
{\displaystyle ~\cdots }
1. Аксіому порожньої множини можна вивести з наступної сукупності висловлювань:
∀
a
∀
b
(
b
=
b
→
(
b
∉
a
→
b
=
b
)
)
{\displaystyle ~\forall a\forall b\ (b=b\to (b\notin a\to b=b)\ )}
∀
b
(
b
=
b
)
{\displaystyle ~\forall b\ (b=b)}
∀
a
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
∈
a
∧
b
≠
b
)
{\displaystyle ~\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b)}
Крім того, аксіому порожньої множини можно вивести з аксіоми нескінченності , представленої в наступному вигляді:
∃
a
(
∃
a
∅
(
a
∅
∈
a
∧
∀
b
(
b
∉
a
∅
)
)
∧
∀
b
(
b
∈
a
→
∃
c
(
c
∈
a
∧
∀
d
(
d
∈
c
↔
d
∈
b
∨
d
=
b
)
)
)
)
{\displaystyle ~\exists a\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to \exists c\ (c\in a\ \land \ \forall d\ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b))))}
2. Керуючись аксіомою об'ємності , можна довести єдиність порожньої множини. Іншими словами, можна довести, що аксіома порожньої множини рівносильна висловлюванню:
∃
!
a
∀
b
(
b
∉
a
)
{\displaystyle ~\exists !a\forall b\ (b\notin a)}
∃
a
∀
b
(
b
∉
a
)
∧
∀
a
∀
a
′
(
∀
b
(
b
∉
a
′
)
∧
∀
b
(
b
∉
a
)
→
a
′
=
a
)
{\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\notin a)\quad \land \quad \forall a\forall a'\ (\forall b\ (b\notin a')\ \land \ \forall b\ (b\notin a)\to a'=a)}
∅
=
{
b
:
b
∈
R
∧
0
⋅
b
=
1
}
{\displaystyle ~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {R} \land 0\cdot b=1\}}
∅
=
{
b
:
b
∈
N
∧
1
−
2
=
b
}
{\displaystyle ~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {N} \land 1-2=b\}}
∅
=
{
b
:
b
∈
Z
∧
2
⋅
b
=
1
}
{\displaystyle ~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {Z} \land 2\cdot b=1\}}
∅
=
{
b
:
b
∈
Q
∧
b
=
2
}
{\displaystyle ~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {Q} \land b={\sqrt {2}}\}}
∅
=
{
b
:
b
∈
R
∧
b
2
=
−
1
}
{\displaystyle ~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {R} \land b^{2}=-1\}}
![{\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cfd2c41369607cf07f673e1ffbb01d5d7935a88)
![{\displaystyle \exists a\ (a=\{b:\ \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b]\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61a2b5b37e0414ebfd719a8b0a836063fb577c8)
