Підмножина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
A — підмножина B

Якщо X та Y — множини та будь-який елемент із X є також елементом із Y, то говорять, що:

  • X є підмножиною (частиною) Y, позначення — XY;
  • Y — надмножина (охоплююча множина) X, позначення — YX.


Кожна множина Y є підмножиною себе самої. Підмножина Y, яка не збігається з Y називається точною підмножиною (або правильною чи власною частиною множини) Y. Якщо X — точна підмножина Y, то цей факт записується як XY. Відношення «бути підмножиною» має назву включення.

Варіанти позначень[ред.ред. код]

Існують дві системи позначень відношень включення Старіша система використовує символ "⊂" для позначення будь-якої підмножини, і символ "⊊" для позначення точної підмножини. Нова система використовує "⊆" для позначення будь-якої підмножини, і "⊂" для позначення точної підмножини.

Власна підмножина[ред.ред. код]

Із означення прямо слідує, що порожня множина мусить бути підмножиною будь-якої множини. Також, очевидно, будь-яка множина є своєю підножиною:

\varnothing \subset B,\; B \subset B \quad \forall B.

Якщо A \subset B, і A \ne \varnothing, A \ne B, то A називається власною або нетривіа́льною підмножиною.

Приклади[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

ТВЕРДЖЕННЯ 1: Порожня множина є підмножиною всякої множини.

Доведення: Для довільної множини A потрібно довести, що ∅ є підмножиною A. Це рівнозначно тому, щоби показати, що всі елементиТ ∅ є також елементами A. Але в ∅ не існує жодного елемента.

Пояснимо: завдяки тому, що в ∅ немає елементів, "вони" не можуть бути нічиїми елементами. Тому для доведення зворотного, що ∅ не є підмножиною A, нам потрібно було б знайти такий елемент ∅, який не є одночасно елементом A. Таких елементів не існує (їх не існує взагалі), тому твердження 1 справедливе.

ТВЕРДЖЕННЯ 2: Якщо A, B та C є множини, тоді справедливі такі властивості відношення включення:

рефлексивність:
  • A ⊆ A
антисиметричність:
  • A ⊆ B та B ⊆ A тоді й тільки тоді, коли A = B
транзитивність:
  • Якщо A ⊆ B та B ⊆ C то A ⊆ C

Це твердження говорить про те, що множина X є алгебраїчною структурою, або решіткою, і якщо вона дистрибутивна (що показано в твердженні 1) та для кожного елементу існує його доповнення, то така структура має назву булевої алгебри.

ТВЕРДЖЕННЯ 3: Якщо A, B та C - підмножини S, то виконується наступне:

існування верхньої межі та нижньої межі:
  • Ø ⊆ A ⊆ S
існування зв'язків:
  • A ⊆ AB
  • Якщо A ⊆ C та B ⊆ C то AB ⊆ C
існування перетину:
  • AB ⊆ A
  • Якщо C ⊆ A та C ⊆ B то C ⊆ AB

ТВЕРДЖЕННЯ 4: Для будь-яких множин A та B, такі твердження еквівалентні:

  • A ⊆ B
  • AB  =  A
  • AB  =  B
  • A − B  =  Ø
  • BC ⊆ AC

Посилання[ред.ред. код]