Алгоритм Блум - Блум - Шуба

Алгоритм Блум - Блум - Шуба (англ. Algorithm Blum — Blum — Shub, BBS) - генератор псевдовипадкових чисел, запропонований в 1986 році Ленором Блумом, Мануелем Блумом і Майклом Шубом.

BBS має такий вигляд:

$x_{n+1}=x_{n}^{2}\;{\bmod {\;}}M,$

де $M=pq$ є добуток двох великих простих чисел $p$ і $q$. На кожному кроці алгоритму вихідні дані обчислюють з $x_{n}$ шляхом взяття або біта парності, або одного чи більше найменш значущих бітів $x_{n}$.

Два простих числа, $p$ і $q$, повинні бути конгруентні з 3 по $mod$ $4$ (це гарантує, що кожен квадратний залишок має один квадратний корінь, який також є квадратним залишком) і найбільший спільний дільник НСД $(p-1,q-1)$ має бути маленьким (це збільшує довжину циклу).

Цікавою особливістю цього алгоритму є те, що для отримання $x_{n}$ необов'язково обчислювати всі $n-1$ попередні числа, якщо відомо початковий стан генератора $x_{0}$ і числа $p$ і $q$. $n$ - е значення може бути обчислено безпосередньо використовуючи формулу:

$x_{n}=x_{0}^{2^{n}{\bmod {\lambda }}(M)}\;{\bmod {\;}}M$,

де $\lambda$ - функція Кармайкла: в даному випадку $\lambda (M)=\lambda (pq)=lcm(p-1,q-1)$ - найменше спільне кратне чисел ($p-1$) і ($q-1$).

Надійність

Цей генератор підходить для криптографії, але не для моделювання, тому що він недостатньо швидкий. Однак, він має високу стійкість, яка забезпечується якістю генератора виходячи з обчислювальної складності завдання факторизації чисел. Коли прості числа обрані правильно, і $O(\log \log M)$ біт кожного $x_{n}$ є вихідними даними, тоді межа, при швидкозростаючому $M$, відрізнити вихідні біти від випадкових буде настільки ж складно, як і факторизація $M$.

Приклад

Нехай $p=11$, $q=19$ та $s=3$. Ми можемо розраховувати отримати велику довжину циклу для таких малих чисел, тому що ${\rm {gcd}}(\varphi (p-1),\varphi (q-1))=2$. Генератор починає рахувати $x_{0}$ за допомогою $x_{-1}=s$ і створює послідовність $x_{0}$, $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$ $x_{5}$ = 9, 81, 82, 36, 42, 92. У наступній таблиці показано вихідні дані (у бітах) для різних методів вибору бітів, що використовуються для визначення виходу.

Парний біт	Непарний біт	Найменш значущий біт
0 1 1 0 1 0	1 0 0 1 0 1	1 1 0 0 0 0

Посилання

• GMPBBS^{[недоступне посилання з серпня 2019]}, a GPL'ed GMP-based implementation of Blum Blum Shub in C by daffodil-11
• BlumBlumShub^{[недоступне посилання з серпня 2019]}, a GPL'ed implementation of Blum Blum Shub in Java by daffodil-11
• An implementation in Java [Архівовано 15 січня 2016 у Wayback Machine.]
• Randomness tests [Архівовано 3 червня 2019 у Wayback Machine.]

Література

• Lenore Blum, Manuel Blum, and Michael Shub. «A Simple Unpredictable Pseudo-Random Number Generator», SIAM Journal on Computing, volume 15, pages 364—383, May 1986.
• Lenore Blum, Manuel Blum, and Michael Shub. «Comparison of two pseudo-random number generators», Advances in Cryptology: Proceedings of Crypto '82. Available as PDF.
• Pascal Junod, «Cryptographic Secure Pseudo-Random Bits Generation: The Blum-Blum-Shub Generator», August 1999. 21 page PDF file [Архівовано 24 жовтня 2019 у Wayback Machine.]
• Martin Geisler, Mikkel Krøigård, and Andreas Danielsen. «About Random Bits», December 2004. Available as PDF and Gzipped Postscript.
• Randomness Recommendations for Security — RFC 1750 [Архівовано 22 березня 2019 у Wayback Machine.].