Вибухова хвиля Тейлора–фон Неймана–Сєдова

Вибухова хвиля Тейлора–фон Неймана–Сєдова — вибухова хвиля, спричинена сильним вибухом. Описується автомодельним розв'язком, який був незалежно знайдений Джеффрі Тейлором, Джоном фон Нейманом і Леонідом Сєдовим під час Другої світової війни.

Історія

Британське Міністерство внутрішньої безпеки повідомило Джеффрі Тейлору про можливість виготовлення бомби, у якій дуже велика кількість енергії буде вивільнена в результаті ядерного розщеплення, і попросило оцінити ефективність такої зброї. Тейлор представив свої результати 27 червня 1941 року. В той самий час у Сполучених Штатах над тією ж проблемою працював Джон фон Нейман, який представив свої результати 30 червня 1941 року. Говорили, що Леонід Сєдов також працював над проблемою приблизно в той самий час в СРСР, хоча Сєдов ніколи не підтверджував жодних точних дат.

Повний розв'язок вперше було опубліковано Сєдовим у 1946 році. Фон Нейман опублікував свої результати в серпні 1947 року в звіті «Вибухова хвиля» наукової лабораторії Лос-Аламоса, хоча цей звіт було поширено лише в 1958 року. Тейлор отримав дозвіл на публікацію своїх результатів у 1949 році, а в 1950 році він опублікував свої роботи у двох статтях. У другій статті Тейлор розрахував енергію атомної бомби, використаної в ядерному випробуванні «Трініті» використовуючи подібність, просто подивившись на серію фотографій вибухової хвилі, опублікованих Джуліаном Макком у 1947, які мали шкалу довжини та позначки часу. Цей розрахунок енергії викликав, за словами самого Тейлора, «велике збентеження» в урядових колах США, оскільки число тоді ще було засекреченим, а фотографії, опубліковані Маком, не були. Біограф Тейлора Джордж Бетчелор пише: «Ця оцінка потужності вибуху першої атомної бомби викликала чималий резонанс… Дж. І. [Тейлор] був м'яко попереджений армією США стосовно публікації своїх висновків із їхніх (несекретних) фотографій».

Математичний опис

Розглянемо сильний вибух (наприклад, ядерної бомби), який виділяє велику кількість енергії $E$ в невеликому об'ємі протягом короткого проміжку часу. Це створить сильну сферичну ударну хвилю, що поширюється назовні від центру вибуху. Самоподібний розв'язок описує потік, коли ударна хвиля перемістилася на відстань, велику порівняно з розміром області, в якій відбувся вибух. На таких великих відстанях хвиля вже «забуде» інформацію про розмір і тривалість вибуху, і тільки вивільнена енергія $E$ матиме вплив на розвиток ударної хвилі. З дуже високою точністю можна припустити, що вибух стався в точці (скажімо, в початку координат $r=0$) миттєво (в момент $t=0$).

Ударна хвиля в області самоподібності вважається все ще дуже сильною, так що тиск за ударною хвилею $p_{1}$ дуже великий в порівнянні з тиском $p_{0}$ перед ударною хвилею, яким можна знехтувати під час розгляду задачі. Хоча тиск незбуреного газу незначний, густиною незбуреного газу $\rho _{0}$ неможна знехтувати, оскільки стрибок густини через сильні ударні хвилі є ненульовим, як це випливає з умов Ранкіна–Гюгоніо. Це наближення еквівалентно встановленню $p_{0}=0$ і відповідно швидкості звуку $c_{0}=0$, але зі збереженням ненульової густини $\rho _{0}\neq 0$.

Єдині параметри, які є в нашому розпорядженні, — це енергія $E$ і незбурена густина газу $\rho _{0}$. Параметри за ударною хвилею, такі як $p_{1},\,\rho _{1}$ можна отримати з параметрів перед ударною хвилею. Єдиною безрозмірною комбінацією, яку можна скласти з $r,\,t,\,\rho _{0}$ і $E$, є

$r\left({\frac {\rho _{0}}{Et^{2}}}\right)^{1/5}$.

Розумно припустити, що еволюція в $r$ і $t$ ударної хвилі залежить тільки від наведеної вище змінної. Це означає, що місцезнаходження ударної хвилі $r=R(t)$ буде відповідати певному значенню цієї змінної (назвемо його $\beta$). Тоді

$R=\beta \left({\frac {Et^{2}}{\rho _{0}}}\right)^{1/5}.$

Швидкість поширення ударної хвилі становить

$D={\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}={\frac {2R}{5t}}={\frac {2\beta }{5}}\left({\frac {E}{\rho _{0}t^{3}}}\right)^{1/5}$

З наближенням, описаним вище, умови Ранкіна–Гюгоніо визначають параметри газу $v_{1}$, $p_{1}$ і $\rho _{1}$ безпосередньо за ударним фронтом для ідеального газу наступним чином:

$v_{1}={\frac {2}{\gamma +1}}D,\quad p_{1}={\frac {2}{\gamma +1}}\rho _{0}D^{2},\quad \rho _{1}=\rho _{0}{\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}$

де $\gamma$ — питома теплоємність. Оскільки $\rho _{0}$ є константою, густина безпосередньо за ударною хвилею не змінюється з часом, тоді як $v_{1}$ і $p_{1}$ зменшуються як $t^{-3/5}$ і $t^{-6/5}$ відповідно.

Самоподібний розв'язок

Рух газу за ударною хвилею визначається рівняннями Ейлера. Для ідеального політропного газу зі сферичною симетрією рівняння для радіальної швидкості $v(r,t)$, густини $\rho (r,t)$ і тиску $p(r,t)$ мають форму

${\begin{aligned}{\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}},\\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial r}}&=-{\frac {2\rho v}{r}},\\\left({\frac {\partial }{\partial t}}+v{\frac {\partial }{\partial r}}\right)\ln {\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}&=0.\end{aligned}}$

На радіусі $r=R(t)$ розв'язки повинні наближатися до значень, заданих умовами Ренкіна-Гюгоніо, визначеними в попередньому розділі.

Змінний тиск можна замінити швидкістю звуку $c(r,t)$, оскільки тиск можна отримати з формули $c^{2}=\gamma p/\rho$. Вводяться наступні безвимірні самоподібні змінні:

$\xi ={\frac {r}{R(t)}},\quad V(\xi )={\frac {5tv}{2r}},\quad G(\xi )={\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad Z(\xi )={\frac {25t^{2}c^{2}}{4r^{2}}}$.

Умови на ударному фронті $\xi =1$ набувають форми

$V(1)={\frac {2}{\gamma +1}},\quad G(1)={\frac {\gamma +1}{\gamma -1}},\quad Z(1)={\frac {2\gamma (\gamma -1)}{(\gamma +1)^{2}}}.$

Підстановка самоподібних змінних в основні рівняння призведить до трьох звичайних диференціальних рівнянь. Як показали Сєдов у 1946 році та фон Нейман у 1947 році, аналітичний розв'язок цих диференціальних рівнянь є складним, натомість як Тейлор розв'язав ці рівняння чисельно.

Відношення між $Z$ і $V$ можна вивести безпосередньо зі збереження енергії. Оскільки енергією, пов'язаною з незбуреним газом, нехтують, припускаючи $p_{0}=0$, повна енергія газу в ударній сфері повинна дорівнювати $E$. З самоподібності зрозуміло, що постійною є не тільки повна енергія в межах сфери радіуса $\xi =1$, а й повна енергія всередині сфери будь-якого радіуса $\xi <1$ (у розмірній формі це означає, що повна енергія всередині сфери радіусом $r$, що рухається назовні зі швидкістю $v_{n}=2r/5t$, має бути постійною). Кількість енергії, що виходить із сфери радіуса $r$ за час $dt$ через швидкість газу $v$ є $4\pi r^{2}\rho v(h+v^{2}/2)\mathrm {d} t$, де $h$ — питома ентальпія газу. За цей час радіус сфери збільшується зі швидкістю $v_{n}$, і енергія газу в цьому додатково збільшеному об'ємі дорівнює $4\pi r^{2}\rho v_{n}(e+v^{2}/2)\mathrm {d} t$, де $e$ — питома енергія газу. Прирівнювання цих виразів і підстановка $e=c^{2}/\gamma (\gamma -1)$ і $h=c^{2}/(\gamma -1)$ (справедлива для ідеального політропного газу), призводить до

$Z={\frac {\gamma (\gamma -1)(1-V)V^{2}}{2(\gamma V-1)}}.$

Рівняння неперервності та енергії зводяться до

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \ln \xi }}-(1-V){\frac {\mathrm {d} \ln G}{\mathrm {d} \ln \xi }}&=-3V\\{\frac {\mathrm {d} \ln Z}{\mathrm {d} \ln \xi }}-(\gamma -1){\frac {\mathrm {d} \ln G}{\mathrm {d} \ln \xi }}&=-{\frac {5-2V}{1-V}}.\end{aligned}}$

Автомодельний розв'язок вибухової хвилі Тейлора-фон Неймана-Сєдова для $\gamma =7/5$

Виражаючи $\mathrm {d} V/\mathrm {d} \ln \xi$ і $\mathrm {d} \ln G/\mathrm {d} V$ як функції єдиної змінної $V$ з використанням отриманого раніше співвідношення й одноразове інтегрування дає розв'язок в неявній формі,

${\begin{aligned}\xi ^{5}&=\left[{\frac {1}{2}}(\gamma +1)V\right]^{-2}\left\{{\frac {\gamma +1}{7-\gamma }}[5-(3\gamma -1)V]\right\}^{\nu _{1}}\left[{\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}(\gamma V-1)\right]^{\nu _{2}},\\G&={\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}\left[{\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}(\gamma V-1)\right]^{\nu _{3}}\left\{{\frac {\gamma +1}{7-\gamma }}[5-(3\gamma -1)V\right\}^{\nu _{4}}\left[{\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}(1-V)\right]^{\nu _{5}}\end{aligned}}$

де

$\nu _{1}=-{\frac {13\gamma ^{2}-7\gamma +12}{(3\gamma -1)(2\gamma +1)}},\quad \nu _{2}={\frac {5(\gamma -1)}{2\gamma +1}},\quad \nu _{3}={\frac {3}{2\gamma +1}},\quad \nu _{4}=-{\frac {\nu _{1}}{2-\gamma }},\quad \nu _{5}=-{\frac {2}{2-\gamma }}.$

Константа $\beta$ що визначає полодення ударного фронту, можна визначити із збереження енергії

$E=\int _{0}^{R}\rho [v^{2}/2+c^{2}/\gamma (\gamma -1)]4\pi r^{2}\mathrm {d} r$.

Це дає

$\beta ^{5}{\frac {16\pi }{25}}\int _{0}^{1}G[V^{2}/2+Z/\gamma (\gamma -1)]\xi ^{4}\mathrm {d} \xi =1.$

Для повітря, $\gamma =7/5$ і $\beta =1.033$. Розв'язок для $\gamma =7/5$ показано на малюнку шляхом побудови кривих $\rho /\rho _{1}=G(\gamma -1)/(\gamma +1)$, $v/v_{1}=\xi V(\gamma +1)/2$, $p/p_{1}=\xi ^{2}GZ(\gamma +1)/(2\gamma )$ і $T/T_{1}=\xi ^{2}Z(\gamma +1)^{2}/[2\gamma (\gamma -1)],$ де $T$ — це температура.

Асимптотична поведінка поблизу центральної області

Асимптотичну поведінку центральної області можна дослідити, взявши границю $\xi \rightarrow 0$. З малюнка видно, що за ударною хвилею щільність дуже швидко падає до нуля. Вся маса газу, яка спочатку була рівномірно розподілена в сфері радіуса $R$, тепер міститься в тонкому шарі за ударною хвилею, тобто вся маса викидається назовні прискоренням, наданим ударною хвилею. Таким чином, більша частина області практично порожня. Коефіцієнт тиску також швидко падає, виходячи на постійне значення $p_{c}$. Відношення температур випливає із закону ідеального газу; оскільки відношення густини спадає до нуля, а відношення тисків є постійним, відношення температур має стати нескінченним. Гранична форма для густини задана наступним чином

${\frac {\rho }{\rho _{1}}}\sim \xi ^{3/(\gamma -1)},\quad {\frac {p}{p_{1}}}\rightarrow p_{c},\quad {\frac {T}{T_{1}}}\sim \xi ^{-3/(\gamma -1)}\quad {\text{as}}\quad \xi \rightarrow 0.$

Важливо, що щільність $\rho _{1}$ не залежить від часу, тоді як $p_{1}\sim t^{-6/5}$. Це означає, що фактичний тиск насправді залежить від часу. Це стає зрозумілим, якщо наведені вище результати переписати в розмірних одиницях,

$\rho \sim r^{3/(\gamma -1)}t^{-6/5(\gamma -1)},\quad p\rightarrow p_{c}t^{-6/5},\quad T\sim r^{-3/(\gamma -1)}t^{(6/5)(2-\gamma )/(\gamma -1)}\quad {\text{as}}\quad r\rightarrow 0.$

Відношення швидкостей має лінійну поведінку в центральній області,

${\frac {v}{v_{1}}}\sim \xi \quad {\text{as}}\quad \xi \rightarrow 0$,

в той час як поведінка самої швидкості визначається як

$v\sim rt^{1/5}\quad {\text{as}}\quad r\rightarrow 0.$

Кінцева стадія вибухової хвилі

Оскільки ударна хвиля розвивається в часі, її сила зменшується. Самоподібний розв'язок, описаний вище, руйнується, коли $p_{1}$ стає порівнянним з $p_{0}$ (точніше, коли $p_{1}\sim [(\gamma +1)/(\gamma -1)]p_{0}$). На цьому пізньому етапі еволюції, $p_{0}$ (і відповідно $c_{0}$) не можна нехтувати. Це означає, що еволюція не є самоподібною, оскільки в задачі тепер можна сформувати масштаб довжини $(E/p_{0})^{1/3}$ і часовий масштаб $(E/p_{0})^{1/3}/c_{0}$. Відповідні рівняння розв'язуються чисельно, як це було зроблено Х. Голдстайном і Джоном фон Нейманом, Броде, і Охоцимським зі співавторами.

Вибух циліндричної лінії

Аналогічну задачу в циліндричній геометрії, що відповідає осесиметричній вибуховій хвилі, можна розв'язати аналітично. Цей розв'язок незалежно знайшли Леонід Сєдов, А. Сакурай та С. Ц. Лін.