Визначникова тотожність Сильвестра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У теорії матриць, визначникова тотожність Сильвестра — це тотожність корисна для обчислення певних типів визначників. Її назвали на честь Джеймса Джозефа Сильвестра, який навів цю тотожність без доведення у 1851.[1]

Тотожність стверджує, що якщо A і B є матрицями розмірів m × n і n × m відповідно, тоді

де Ia — одинична матриця порядку a.[2][3]

Це визначниковий аналог матричної тотожності Вудбурі.

Доведення[ред.ред. код]

Тотожність можна довести таким чином.[4] Нехай M буде матрицею, що складається з чотирьох блоків Im, A, B і In:

.

Оскільки Im є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

.

Оскільки In є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

.

Отже,

.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Sylvester, James Joseph (1851). On the relation between the minor determinants of linearly equivalent quadratic functions. Philosophical Magazine 1. с. 295–305. 
    Процитовано в Akritas, A. G.; Akritas, E. K.; Malaschonok, G. I. (1996). Various proofs of Sylvester's (determinant) identity. Mathematics and Computers in Simulation 42 (4–6). с. 585. doi:10.1016/S0378-4754(96)00035-3. 
  2. Harville, David A. (2008). Matrix algebra from a statistician's perspective. Berlin: Springer. ISBN 0-387-78356-3.  page 416
  3. Weisstein, Eric W. Sylvester's Determinant Identity. MathWorld--A Wolfram Web Resource. Процитовано 2012-03-03. 
  4. Pozrikidis, C. (2014). An Introduction to Grids, Graphs, and Networks. Oxford University Press. с. 271. ISBN 9780199996735.