Визначник Грама

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Визначник Грама системи векторів e1, e2, ..., en в евклідовому просторі називається визначник матриці Грама цієї системи:

де скалярний добуток векторів ei та ej.

Матриця Грама виникає з наступної задачі лінійної алгебри:

нехай в евклідовому просторі V система векторів e1, e2, ..., en породжує підпростір U. Знаючи, чому дорівнюють скалярні добутки вектора x з U з кожним з цих векторів, знайти коефіцієнти розкладення вектора x по векторам e1, e2, ..., en.
Виходячи з розкладення x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen отримаємо систему лінійних рівнянь з матрицею Грама:

Ця задача має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли вектори e1, e2, ..., en лінійно незалежні. Через це рівність нулю визначника Грама системи векторів — критерій їх лінійної залежності.

Геометрична інтерпретація визначника Грама[ред.ред. код]

Визначник Грама системи векторів дорівнює квадрату об'єму паралелограма натягнутого на ці вектори.

Джерела[ред.ред. код]