Скалярний добуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Скалярний добуток (англ. dot product, англ. scalar product, нім. Skalarprodukt, рос. скалярное произведение) — математична операція над двома векторами, результатом якої є скаляр. Скалярний добуток векторів \vec x та \vec y обчислюється за формулою:

\vec x \cdot \vec y = |\vec x|\, |\vec y|\,\cos\measuredangle\left(\vec x, \vec y\right)

де |\vec x| та |\vec y| є довжинами векторів, а \cos \measuredangle\left(\vec x, \vec y\right) дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати: \vec x\cdot \vec y= \vec x\vec y.

Два означення добутку векторів.

Скалярним добутком двох векторів називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Скалярним добутком двох векторів називається число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини \vec x на довжину проекції \vec y на \vec x).

В лінійній алгебрі поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називається функція, що зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір. Скалярний добуток двох векторів x та y позначається як \langle x,y\rangle. Можлива і скорочена форма запису: xy. Також можливе позначення x^Ty, що підкреслює зв'язок з множенням матриць.

Взагалі кажучи, для векторного простору існують різні варіанти скалярного добутку. Простір із визначеним скалярним добутком позначається як передгільбертів простір.

Визначення в евклідовому просторі[ред.ред. код]

В лінійній алгебрі скалярний добуток двох векторів

\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}    і   \vec{y}=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}

n-вимірного евклідового простору дорівнює сумі добутків координат векторів:

\vec x\cdot \vec y := \sum_{i=1}^n x_iy_i = {x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+\dotsb + {x_n}{y_n}.

Наприклад, в тривимірному евклідовому просторі, скалярний добуток двох векторів обчислюється таким чином:


  \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix}
\cdot
  \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} =
1 \cdot (-7) + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 36
,

тобто для того, щоб отримати значення скалярного добутку, матрицю-стовпчик, яка відповідає першому із співмножників треба транспонувати і помножити на матрицю-стовпчик другого вектора за правилами множення матриць.

Норма векторів[ред.ред. код]

Завдяки скалярному добутку, можна так обчислити норму вектора:

|| \vec x || = \sqrt{\vec x\cdot \vec x}.

Якщо простір евклідовий, то:

|| \vec x || = \sqrt{\vec x\cdot \vec x} = \sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2}.

Обчислення кута[ред.ред. код]

В евклідовому просторі виконується наступна рівність:

\vec x\cdot \vec y =  |\vec x| |\vec y| \cos \measuredangle \left(\vec x,\vec y\right).

На основі цього можна обчислити кут між векторами:

\measuredangle\left(\vec x,\vec y\right)=\arccos\frac{\vec x\cdot\vec y}{\left|\vec x\right|\,\left|\vec y\right|}

Визначення стандартного скалярного добутку в просторі комплексних векторів[ред.ред. код]

Для \C^n векторного простору над полем комплексних чисел стандартний скалярний добуток векторів \vec x,\vec y\in \C^n визначається як відображення, що задовільняє наступним умовам:

\vec x\cdot \vec y := \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i} = {x_1}\overline{y_1}+{x_2}\overline{y_2}+\dotsb + {x_n}\overline{y_n},

де риска над комплексним числом позначає комплексно-спряжене число.

Інший варіант скалярного добутку можна визначити як:

\vec x\cdot \vec y := \sum_{i=1}^n \overline{x_i}y_i = \overline{x_1}{y_1}+\overline{x_2}{y_2}+\dotsb + \overline{x_n}{y_n}.

Таке визначення здебільшого використовується в фізиці.

Результати обох визначень є взаємно-спряженими комплексними числами. Для скалярного добутку вектора на самого себе, який визначає норму вектора, обидва визначення дають однаковий результат.

Властивості[ред.ред. код]

  • Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто \vec x \cdot \vec y = \vec y\cdot \vec x, у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто \vec x \cdot \vec y=\overline{\vec y \cdot \vec x }.
  • Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).
  • Скалярний добуток дистрибутивний по відношенню до додавання та віднімання.
  • В евклідовому просторі спряженим по відношенню до лінійного оператора A називається оператор A*, для якого виконується рівність:  \langle A \cdot x,y \rangle =\langle x,A^* \cdot y\rangle для довільних x, y.[1]

Узагальнене визначення[ред.ред. код]

Якщо L — лінійний простір над полем \mathcal K, а \overline L — комплексно спряжений до L то білінійне відображення L\times L \to \mathcal K, або , при \mathcal K = \C відображення L \times \overline{L} \to \mathcal K називається скалярним добутком.[2]

  • Скалярний добуток в дійсному векторному просторі V, це симетричне додатньовизначене білінійне відображення \langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\R, тобто, для x,y,z\in V та \lambda\in\R виконуються такі умови:
    1. білінійність:
      • \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle
      • \langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle
      • \langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle
    2. симетричність: \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle
    3. додатньовизначеність: \langle x,x\rangle\geq0, та \langle x,x\rangle=0 якщо x=0
  • Скалярний добуток в комплексному векторному просторі V, це ермітове додатньовизначене півторалінійне відображення \langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to \C, тобто, для x,y,z\in V і \lambda\in\C виконуються такі умови:
    1. півторалінійність:
      • \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle
      • \langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle
      • \langle  \lambda x, y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle x,\bar \lambda y\rangle
    2. ермітовість: \langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}
    3. додатньовизначеність: \langle x,x\rangle\geq0, і \langle x,x\rangle=0 якщо x=0. (те, що \langle x,x\rangle дійсний, витікає з умови 2)

Дійсний або комплексний векторний простір, в якому визначено скалярний добуток, називається прегільбертовим.

Представлення у вигляді добутку матриць[ред.ред. код]

Стандартний скалярний добуток можна представити як добуток матриць. При цьому, вектор представляється у вигляді матриці-стовпчика.

У випадку дійсних чисел, скалярний добуток представляється як:

\langle x, y\rangle  =  x^Ty = y^Tx,

де знаком {}^T позначається транспонування матриці.

У випадку комплексних чисел виконується:

\langle x, y\rangle  = x^* y,

де знаком {}^* позначається ермітово-спряжена матриця.


Взагалі кажучи, у випадку дійсних чисел, кожна симетрична та додатноозначена матриця A визначає скалярний добуток:

\langle x, y\rangle_A  =  x^T A y ;

аналогічно, у випадку комплексних чисел кожна ермітова додатноозначена матриця A визначає скалярний добуток:

\langle x, y\rangle_A  =  x^* A y .

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. (1999). Линейная алгебра (вид. четверте). Москва: Наука, Физматлит. 
  2. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 

Джерела[ред.ред. код]