Скалярний добуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Скалярний добуток (англ. dot product, англ. scalar product, нім. Skalarprodukt, рос. скалярное произведение) — бінарна операція над векторами, результатом якої є скаляр.

Скалярний добуток векторів \vec x та \vec y обчислюється за формулою:

\vec x \cdot \vec y = |\vec x|\, |\vec y|\,\cos\measuredangle\left(\vec x, \vec y\right)

де |\vec x| та |\vec y| є довжинами векторів, а \cos \measuredangle\left(\vec x, \vec y\right) дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати: \vec x\cdot \vec y= \vec x\vec y.

Два означення добутку векторів:

  • Скалярним добутком двох векторів називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
  • Скалярним добутком двох векторів називається число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини \vec x на довжину проекції \vec y на \vec x).

В лінійній алгебрі поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називається функція, що зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір. Скалярний добуток двох векторів x та y позначається як \langle x,y\rangle. Можлива і скорочена форма запису: xy. Також можливе позначення x^Ty, що підкреслює зв'язок з множенням матриць.

Взагалі кажучи, для векторного простору існують різні варіанти скалярного добутку. Простір із визначеним скалярним добутком позначається як передгільбертів простір.

Визначення в евклідовому просторі[ред.ред. код]

В лінійній алгебрі скалярний добуток двох векторів

\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}    і   \vec{y}=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}

n-вимірного евклідового простору дорівнює сумі добутків координат векторів:

\vec x\cdot \vec y := \sum_{i=1}^n x_iy_i = {x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+\dotsb + {x_n}{y_n}.

Наприклад, в тривимірному евклідовому просторі, скалярний добуток двох векторів обчислюється таким чином:


  \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix}
\cdot
  \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} =
1 \cdot (-7) + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 36
,

тобто для того, щоб отримати значення скалярного добутку, матрицю-стовпчик, яка відповідає першому із співмножників треба транспонувати і помножити на матрицю-стовпчик другого вектора за правилами множення матриць.

Норма векторів[ред.ред. код]

Завдяки скалярному добутку, можна так обчислити норму вектора:

|| \vec x || = \sqrt{\vec x\cdot \vec x}.

Якщо простір евклідовий, то:

|| \vec x || = \sqrt{\vec x\cdot \vec x} = \sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2}.

Обчислення кута[ред.ред. код]

В евклідовому просторі виконується наступна рівність:

\vec x\cdot \vec y =  |\vec x| |\vec y| \cos \measuredangle \left(\vec x,\vec y\right).

На основі цього можна обчислити кут між векторами:

\measuredangle\left(\vec x,\vec y\right)=\arccos\frac{\vec x\cdot\vec y}{\left|\vec x\right|\,\left|\vec y\right|}

Визначення стандартного скалярного добутку в просторі комплексних векторів[ред.ред. код]

Для \C^n векторного простору над полем комплексних чисел стандартний скалярний добуток векторів \vec x,\vec y\in \C^n визначається як відображення, що задовільняє наступним умовам:

\vec x\cdot \vec y := \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i} = {x_1}\overline{y_1}+{x_2}\overline{y_2}+\dotsb + {x_n}\overline{y_n},

де риска над комплексним числом позначає комплексно-спряжене число.

Інший варіант скалярного добутку можна визначити як:

\vec x\cdot \vec y := \sum_{i=1}^n \overline{x_i}y_i = \overline{x_1}{y_1}+\overline{x_2}{y_2}+\dotsb + \overline{x_n}{y_n}.

Таке визначення здебільшого використовується в фізиці.

Результати обох визначень є взаємно-спряженими комплексними числами. Для скалярного добутку вектора на самого себе, який визначає норму вектора, обидва визначення дають однаковий результат.

Властивості[ред.ред. код]

  • Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто \vec x \cdot \vec y = \vec y\cdot \vec x, у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто \vec x \cdot \vec y=\overline{\vec y \cdot \vec x }.
  • Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).
  • Скалярний добуток дистрибутивний по відношенню до додавання та віднімання.
  • В евклідовому просторі спряженим по відношенню до лінійного оператора A називається оператор A*, для якого виконується рівність:  \langle A \cdot x,y \rangle =\langle x,A^* \cdot y\rangle для довільних x, y.[1]

Узагальнене визначення[ред.ред. код]

Якщо L — лінійний простір над полем \mathcal K, а \overline L — комплексно спряжений до L то білінійне відображення L\times L \to \mathcal K, або, при \mathcal K = \C відображення L \times \overline{L} \to \mathcal K називається скалярним добутком.[2]

  • Скалярний добуток в дійсному векторному просторі V, це симетричне додатньовизначене білінійне відображення \langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\R, тобто, для x,y,z\in V та \lambda\in\R виконуються такі умови:
    1. білінійність:
      • \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle
      • \langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle
      • \langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle
    2. симетричність: \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle
    3. додатньовизначеність: \langle x,x\rangle\geq0, та \langle x,x\rangle=0 якщо x=0
  • Скалярний добуток в комплексному векторному просторі V, це ермітове додатньовизначене півторалінійне відображення \langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to \C, тобто, для x,y,z\in V і \lambda\in\C виконуються такі умови:
    1. півторалінійність:
      • \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle
      • \langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle
      • \langle  \lambda x, y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle x,\bar \lambda y\rangle
    2. ермітовість: \langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}
    3. додатньовизначеність: \langle x,x\rangle\geq0, і \langle x,x\rangle=0 якщо x=0. (те, що \langle x,x\rangle дійсний, витікає з умови 2)

Дійсний або комплексний векторний простір, в якому визначено скалярний добуток, називається прегільбертовим.

Представлення у вигляді добутку матриць[ред.ред. код]

Стандартний скалярний добуток можна представити як добуток матриць. При цьому, вектор представляється у вигляді матриці-стовпчика.

У випадку дійсних чисел, скалярний добуток представляється як:

\langle x, y\rangle  =  x^Ty = y^Tx,

де знаком {}^T позначається транспонування матриці.

У випадку комплексних чисел виконується:

\langle x, y\rangle  = x^* y,

де знаком {}^* позначається ермітово-спряжена матриця.


Взагалі кажучи, у випадку дійсних чисел, кожна симетрична та додатноозначена матриця A визначає скалярний добуток:

\langle x, y\rangle_A  =  x^T A y ;

аналогічно, у випадку комплексних чисел кожна ермітова додатноозначена матриця A визначає скалярний добуток:

\langle x, y\rangle_A  =  x^* A y .

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. (1999). Линейная алгебра (вид. четверте). Москва: Наука, Физматлит. 
  2. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 

Література[ред.ред. код]