Скалярний добуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Скалярний добуток (англ. dot product, англ. scalar product, нім. Skalarprodukt, рос. скалярное произведение) — бінарна операція над векторами, результатом якої є скаляр.

Скалярний добуток векторів та обчислюється за формулою:

де та є довжинами векторів, а дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати: = .

Два означення добутку векторів:

  • Скалярним добутком двох векторів називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
  • Скалярним добутком двох векторів називається число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини на довжину проекції на ).

В лінійній алгебрі поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називається функція, що зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір. Скалярний добуток двох векторів та позначається як . Можлива і скорочена форма запису: . Також можливе позначення , що підкреслює зв'язок з множенням матриць.

Взагалі кажучи, для векторного простору існують різні варіанти скалярного добутку. Простір із визначеним скалярним добутком позначається як передгільбертів простір.

Визначення в евклідовому просторі[ред.ред. код]

В лінійній алгебрі скалярний добуток двох векторів

   і   

-вимірного евклідового простору дорівнює сумі добутків координат векторів:

Наприклад, в тривимірному евклідовому просторі, скалярний добуток двох векторів обчислюється таким чином:

,

тобто для того, щоб отримати значення скалярного добутку, матрицю-стовпчик, яка відповідає першому із співмножників треба транспонувати і помножити на матрицю-стовпчик другого вектора за правилами множення матриць.

Норма векторів[ред.ред. код]

Завдяки скалярному добутку, можна так обчислити норму вектора:

Якщо простір евклідовий, то:

Обчислення кута[ред.ред. код]

В евклідовому просторі виконується наступна рівність:

На основі цього можна обчислити кут між векторами:

Визначення стандартного скалярного добутку в просторі комплексних векторів[ред.ред. код]

Для векторного простору над полем комплексних чисел стандартний скалярний добуток векторів визначається як відображення, що задовільняє наступним умовам:

де риска над комплексним числом позначає комплексно-спряжене число.

Інший варіант скалярного добутку можна визначити як:

Таке визначення здебільшого використовується в фізиці.

Результати обох визначень є взаємно-спряженими комплексними числами. Для скалярного добутку вектора на самого себе, який визначає норму вектора, обидва визначення дають однаковий результат.

Властивості[ред.ред. код]

  • Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто , у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто .
  • Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).
  • Скалярний добуток дистрибутивний по відношенню до додавання та віднімання.
  • В евклідовому просторі спряженим по відношенню до лінійного оператора A називається оператор A*, для якого виконується рівність: для довільних x, y.[1]

Узагальнене визначення[ред.ред. код]

Якщо  — лінійний простір над полем , а  — комплексно спряжений до то білінійне відображення , або, при відображення називається скалярним добутком.[2]

  • Скалярний добуток в дійсному векторному просторі , це симетричне додатньовизначене білінійне відображення , тобто, для та виконуються такі умови:
    1. білінійність:
    2. симетричність:
    3. додатньовизначеність: та якщо
  • Скалярний добуток в комплексному векторному просторі , це ермітове додатньовизначене півторалінійне відображення , тобто, для і виконуються такі умови:
    1. півторалінійність:
    2. ермітовість:
    3. додатньовизначеність: , і якщо . (те, що дійсний, витікає з умови 2)

Дійсний або комплексний векторний простір, в якому визначено скалярний добуток, називається прегільбертовим.

Представлення у вигляді добутку матриць[ред.ред. код]

Стандартний скалярний добуток можна представити як добуток матриць. При цьому, вектор представляється у вигляді матриці-стовпчика.

У випадку дійсних чисел, скалярний добуток представляється як:

де знаком позначається транспонування матриці.

У випадку комплексних чисел виконується:

де знаком позначається ермітово-спряжена матриця.


Взагалі кажучи, у випадку дійсних чисел, кожна симетрична та додатноозначена матриця визначає скалярний добуток:

;

аналогічно, у випадку комплексних чисел кожна ермітова додатноозначена матриця визначає скалярний добуток:

.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. (1999). Линейная алгебра (вид. четверте). Москва: Наука, Физматлит. 
  2. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 

Література[ред.ред. код]