Відношення Гріна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Відношення Гріна — п'ять відношень еквівалентності, що описують елементи напівгруп через породжені ними головні ідеали. Названі на честь шотландського математика Джеймса Александра Гріна, що описав їх в своїй роботі в 1951 році.

Розглянемо моноїд S1 утворений з напівгрупи S приєднанням одиниці, якщо вона відсутня. Це робиться для того, щоб кожен головний ідеал містив елемент від якого він породжений.

  • Лівий головний ідеал елемента a: S^1 a = \{sa: s \in S^1\}, що еквівалентно Sa \cup \{a\}.
  • Правий головний ідеал елемента a: a S^1 = \{as: s \in S^1\}, що еквівалентно aS \cup \{a\}.
  • Двосторонній головний ідеал елемента a: \ S^1 a S^1, що еквівалентно SaS \cup aS \cup Sa \cup \{a\}.

Відношення L, R та J[ред.ред. код]

Для елементів a, bS, відношення Гріна L, R та J визначаються як:

  • a L bS1 a = S1 b
  • a R ba S1 = b S1
  • a J bS1 a S1 = S1 b S1

Ці відношення є відношеннями еквівалентності на S, тому розбивають S на класи еквівалентності. Якщо напівгрупа S комутативна, то L, R та J збігаються.

Відношення H та D[ред.ред. код]

  • a H ba L ba R b.
  • a D b ⇔ ∃ c ∈ S: a L cc R b (тобто, найменьше відношення еквівалентності, що містить L та R).

можна переформулювати визначення як:

  • Ha = LaRa
  • a D bRaLb ≠ ∅.

Властивості[ред.ред. код]

  • D ⊆ J
  • D = J для скінченних напівгруп.

Джерела[ред.ред. код]

  • On the structure of semigroups, J. A. Green. Annals of Mathematics (second series) 54(1), July 1951, pages 163-172.