Відношення Гріна

Відношення Гріна — п'ять відношень еквівалентності, що описують елементи напівгруп через породжені ними головні ідеали. Названі на честь шотландського математика Джеймса Александра Гріна, що описав їх в своїй роботі в 1951 році.

Розглянемо моноїд S¹ утворений з напівгрупи S приєднанням одиниці, якщо вона відсутня. Це робиться для того, щоб кожен головний ідеал містив елемент від якого він породжений.

• Лівий головний ідеал елемента a: $S^{1}a=\{sa:s\in S^{1}\}$, що еквівалентно $Sa\cup \{a\}$.
• Правий головний ідеал елемента a: $aS^{1}=\{as:s\in S^{1}\}$, що еквівалентно $aS\cup \{a\}$.
• Двосторонній головний ідеал елемента a: $\ S^{1}aS^{1}$, що еквівалентно $SaS\cup aS\cup Sa\cup \{a\}$.

Відношення L, R та J

Для елементів a, b ∈ S, відношення Гріна L, R та J визначаються як:

• a L b ⇔ S¹ a = S¹ b
• a R b ⇔ a S¹ = b S¹
• a J b ⇔ S¹ a S¹ = S¹ b S¹

Ці відношення є відношеннями еквівалентності на S, тому розбивають S на класи еквівалентності. Якщо напівгрупа S комутативна, то L, R та J збігаються.

Відношення H та D

• a H b ⇔ a L b ∧ a R b.
• a D b ⇔ ∃ c ∈ S: a L c ∧ c R b (тобто, найменше відношення еквівалентності, що містить L та R).

можна переформулювати визначення як:

• H_a = L_a ⋂ R_a
• a D b ⇔ R_a ⋂ L_b ≠ ∅.

Властивості

• D ⊆ J
• D = J для скінченних напівгруп.

Джерела

• On the structure of semigroups, J. A. Green. Annals of Mathematics (second series) 54(1), July 1951, pages 163-172.