Доведення без слів
У математиці доведення без слів (або візуальна демонстрація) — це доведення тотожності або математичного твердження, яке можна продемонструвати як очевидне за допомогою схеми, малюнка, без будь-якого супровідного пояснювального тексту. Такі доведення вважаються більш елегантними, ніж математично більш строгі, через їх очевидний характер.[1]
Візуальні доведення доповнюють формальні словесні (письмові) доведення.
Приклади[ред. | ред. код]
Сума непарних чисел[ред. | ред. код]
Твердження, що сума будь-якої кількості послідовних непарних чисел (починаючи з 1) завжди дорівнює квадрату кількості чисел, які додаються, можна продемонструвати доведенням без слів, яке показане на малюнку праворуч.
Перший квадрат утворений 1 блоком: 1 = 1= 12
Другий квадрат утворений 1 чорним блоком і смужкою з 3 білих блоків: 1+3 = 4= 22
Наступний квадрат утворений 1 чорним блоком, смужками з 3 білих та 5 чорних блоків: 1+3+5 = 9=32
Цей процес можна продовжувати нескінченно довго.
Теорема Піфагора[ред. | ред. код]
Теорема Піфагора має багато доведень без слів.
Існує як мінімум 114 найрізноманітніших підходів до доведення цієї теореми.
Написана між 500 до н. е. і 200 до н. е., китайська математична книга «Чу Пей» (кит. 周髀算经) дає візуальне доведення теореми Піфагора, яка в Китаї називається теорема Гугу (кит. 勾股定理), для трикутника із сторонами 3, 4, 5.
Доведення базується на двох різних обчисленнях площі великого квадрата та дає відоме співвідношення між сторонами прямокутного трикутника:
Хоч це доведення не є найбільш ілюстративним, та заслуговує на те, щоб бути відомим, як одне з найдавніших відомих доведень цієї теореми. Індійський математик Бхаскара (1114—1185 до н. е.) довів теорему Піфагора, намалювавши простий малюнок малюнок.
Обчислюємо площу великого квадрата двома способами: S=
Площа великого квадрата дорівнює сумі площ чотирьох прямокутних трикутників та маленького квадрата
Серед стародавніх індійських математиків практика словесного доведення не користувалася особливою популярністю — вони любили візуальні. Саме в стародавній Індії, як припускають вчені, зародилися перші поняття візуальних доведень
Сума нескінченної спадної геометричної прогресії[ред. | ред. код]
Квадрат зі стороною 1 розділили на частини. З малюнка видно, що площа одиничного квадрата дорівнює сумі площ його частин
Сума кубів[ред. | ред. код]
У теорії чисел існує цікавий зв'язок між сумою послідовних кубів набору натуральних чисел і квадратом суми відповідних чисел. Виглядає це наступним чином:
На малюнках зображено візуальне доведення рівності для n=5
Площа великого квадрата (мал. 1) дорівнює
Площа цього ж квадрата (мал. 2) дорівнює
Для інших значень n доведення аналогічне.
Формули скороченого множення[ред. | ред. код]
Візуалізуємо доведення формули скороченого множення
На першому малюнку площа зафарбованої частини квадрата дорівнює
Якщо фіолетовий прямокутник перекласти так, як показано на другому малюнку, то отримаємо прямокутник, площа якого дорівнює (x+y)(x-y)
Публікації[ред. | ред. код]
Журнал «Математика» та « Математичний журнал коледжу» публікують постійну рубрику під назвою «Доведення без слів», що містить, візуальні доведення.[2] На вебсайтах «Мистецтво вирішення проблем» та USAMTS працюють аплети Java, що ілюструють доведення без слів.[3][4]
Дивитися також[ред. | ред. код]
- Теорема про піцу[en]
- Візуальне числення[en]
- Філософія математики
- Сума степенів цілих чисел (формула Фаульхабера[fr]),
- Нерівність Єнсена
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ Dunham, 1994
- ↑ Dunham, 1994
- ↑ Gallery of Proofs, Art of Problem Solving, архів оригіналу за 21 травня 2015, процитовано 28 травня 2015
- ↑ Gallery of Proofs, USA Mathematical Talent Search, архів оригіналу за 28 січня 2021, процитовано 28 травня 2015
Література[ред. | ред. код]
- Dunham, William (1994), The Mathematical Universe, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-53656-3
- Nelsen, Roger B. (1997), Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America, с. 160, ISBN 978-0-88385-700-7
- Nelsen, Roger B. (2000), Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America, с. 142, ISBN 0-88385-721-9