Зовнівписане коло

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Трикутник (чорний) з вписаним колом (синім), зовнівписаними колами (помаранчеві), бісектрисами внутрішніх (червоні) та зовнішніх (зелені) кутів.

Зовнівписане коло трикутника — коло, яке дотикається до сторони трикутника та продовження двох інших його сторін.

Будь-який трикутник має три зовнівписані кола з центрами , , , які дотикаються до сторін , , відповідно. Радіуси цих кіл позначають , , відповідно.

Властивості[ред. | ред. код]

Ілюстрація доведення властивостей
  • Центр зовнівписаного кола є точкою перетину бісектриси кута та двох бісектрис зовнішніх кутів з вершинами і трикутника .
  • Нехай точки та  — точки дотику зовнівписаного кола з центром до продовжень сторін та трикутника . Тоді .
Доведення.
За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, . За цією ж властивістю маємо, що та , де  — точка дотику цього кола до сторони . Тоді
. Оскільки , то кожен з цих відрізків рівний половині їх суми, тобто .
  • З попередньої властивості легко випливає, що та .
  • , , , де  — площа трикутника , а .
Доведення.Нехай  — точка дотику зовнівписаного кола з центром до сторони трикутника . Тоді . Звідси . Аналогічно можна легко отримати, що та .
  • .
Доведення.
З попередньої властивості маємо, що . Звідси (за формулою Герона), а тому .
  • .
Доведення.
З попередньої властивості, , звідки , а тому .
  • .
Доведення.
Розпишемо: . З того, що (одна з попередніх властивостей), маємо . Аналогічно та . Також справедлива формула , оскільки . Замінивши компоненти в першій рівності, одержимо . Скоротивши обидві частини останньої рівності на ненульовий множник , отримаємо остаточно .
  • Нехай  — центр вписаного кола,  — центр зовнівписаного кола. Тоді описане навколо трикутника коло ділить відрізок навпіл. Іншими словами, якщо  — точка перетину бісектриси кута та описаного кола трикутника , то (Лема Мансіона, частина теореми про трилисник (тризуб)).

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — 592 с.: ил. ISBN 978-5-4439-0058-2
  • Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія: підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — Х.: Гімназія, 2009. — 240 с.  ISBN 978-966-474-012-5