Описане коло

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Circumscribed Polygon.svg

Описане коло многокутника — коло, що містить всі вершини многокутника. Центром є точка (прийнято позначати O) перетину серединних перпендикулярів до сторін многокутника.

Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить на точці перетину серединних перпендикулярів його сторін. Звідси випливає, що коли навколо n-кутника побудоване описане коло, то всі серединні перпендикуляри до його сторін перетинаються в одній точці (центрі кола).

Навколо будь-якого правильного многокутника можна описати коло.

Трикутник[ред.ред. код]

Коло, описане довкола трикутника
  • У гострокутного трикутника центр описаного кола лежить всередині, у тупокутного - поза трикутником, у прямокутного - на середині гіпотенузи.

Позначаємо літерою О точку перетину серединних перпендикулярів до його сторін та проведемо відрізки ОА, ОВ і ОС. Оскільки точка О рівновіддалена від вершин трикутника АВС, то ОА = OB = ОС. Тому коло з центром О радіусу ОА проходить через всі три вершини трикутника і, отже, є описаним навколо трикутника ABC.

  • 3 з 4 кіл, описаних відносно серединних трикутників (утворених середніми лініями трикутника), перетинаються в одній точці всередині трикутника. Ця точка і є центром описаного кола основного трикутника.
  • Центр описаного навколо трикутника кола служить ортоцентром трикутника з вершинами на серединах сторін даного трикутника. Ортоцентр трикутника - це точка перетину висот трикутника або їх продовжень.
  • Відстань від вершини трикутника до ортоцентру вдвічі більше, ніж відстань від центру описаного кола до протилежної сторони.
  • Радіус описаного кола можна знайти за формулами:



Де:
— сторони трикутника,
— кут, що лежить навпроти сторони ,
— півпериметр трикутника.
— площа трикутника.
  • Положення центру описаного кола.

Нехай радіус-вектори вершин трикутника, — радіус-вектор центру описаного кола. Тоді

де

  • Рівняння описаного кола.

Нехай координати вершин трикутника в певній декартовій системі координат на площині, — координати центру описаного кола. Тоді

а рівняння описаного кола має вигляд

Для точок , що лежать всередині кола, визначник негативний, а для точок поза нею - позитивний.


  • Теорема про тризубець : Якщо - точка перетину бісектриси кута з описаним колом, а - центр вписаного кола то .
  • Формула Ейлера : Якщо - відстань між центрами вписаного і описаного кіл, а їхні радіуси дорівнюють і відповідно, то .

Чотирикутник[ред.ред. код]

Cyclic quadrilateral.svg
Малюнок до теореми Птолемея

Вписаний простий (без самоперетинів) чотирикутник обов'язково є опуклим .

Навколо опуклого чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його внутрішніх протилежних кутів дорівнює 180 ° (π радіан).

Радіус описаного кола правильного -кутника з довжиною сторін дорівнює:

Можна описати коло навколо:

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|


Многокутник[ред.ред. код]

Якщо з відрізків скласти многокутник, то його площа буде максимальною, коли він вписаний.

Примітки[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 53-54. — ISBN 5-94057-170-0
  • Л.Е. Гендельштейн, А.П. Єршова, Наочний довідник з геометрії, Гімназія, 1997 - ISBN 966-562-080-0.

Посилання[ред.ред. код]