Бісектриса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Бісектриса кута

Бісектри́са (двосічна)[1] (лат. bissectrix, род. відм. bissectricis; від bis — «двічі» + secare — «розсікати», «розтинати») — термін, що вживається в геометрії для позначення кількох споріднених понять[2]:

  • Бісектриса кута — промінь, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл.
  • Бісектриса трикутника — відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до перетину з протилежною стороною.

Властивості

[ред. | ред. код]
Побудова бісектриси
  • Кожна точка бісектриси кута однаково віддалена від його сторін.
  • Теорема про бісектрису: Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін
  • Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаного в цей трикутник кола.
  • Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка — центр одного з трьох зовнівписаних кіл цього трикутника.
  • Основи бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не є паралельною протилежній стороні трикутника.
  • Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх основи лежать на одній прямій.
  • Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений (теорема Штейнера — Лемуса).
  • Побудова трикутника за трьома заданим бісектрисами за допомогою циркуля та лінійки неможлива,[3] причому навіть за наявності трисектора.[4]
  • В рівнобедреному трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.
  • Кожна бісектриса трикутника ділиться точкою перетину бісектрис у відношенні суми довжин прилеглих сторін до довжини протилежної, рахуючи від вершини.

Формули за участю довжини бісектриси

[ред. | ред. код]
Бісектриса трикутника. Виконується співвідношення BD: DC = AB: AC

Де:

  •  — бісектриса, проведена до сторони с
  •  — сторони трикутника проти вершин A, B,C відповідно
  •  — довжини відрізків, на які бісектриса ділить сторону с
  •  — внутрішні кути трикутника, що лежать навпроти сторін а, b,c відповідно
  •  — висота трикутника, опущена на сторону c.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. M.Zharkikh. Орися Демська-Кульчицька - Д – Й. www.myslenedrevo.com.ua. Архів оригіналу за 13 липня 2018. Процитовано 13 липня 2018.
  2. «Бісектриса» [Архівовано 10 червня 2014 у Wayback Machine.] в УРЕ
  3. Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам? [Архівовано 18 жовтня 2009 у Wayback Machine.]. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО. (рос.)
  4. Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор [Архівовано 26 серпня 2015 у Wayback Machine.]. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО. (рос.)

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
  • Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
  • Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с. — ISBN 5-330-02081-6
  • Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії / І. Кушнір. — Київ: Факт, 2000. 280 с. ISBN 966-7274-75-5