Формула Герона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Трикутник із сторонами a, b й c.

Фо́рмула Геро́на дозволяє визначити площу трикутника за даними довжинами його сторін , і .

, де  — половина периметру трикутника або півпериметр.

Також, розписуючи вираз під коренем і використовуючи формули для квадрату двочлена і різниці квадратів, можна одержати еквівалентні варіанти формули:

Доведення (тригонометричне)[ред. | ред. код]

Візьмемо широко відому формулу обчислення площі трикутника: , де  — кут трикутника, що лежить навпроти сторони .

Згідно з теоремою косинусів . Звідси .

Тому

.

Оскільки справедливі рівності , , , , отримуємо, що

Таким чином, .

Доведення (геометричне)[ред. | ред. код]

Ілюстрація до доведення формули Герона за допомогою зовнівписаного кола

Нехай дано трикутник , та  — вписане та зовнівписане (яке дотикається до сторони ) коло відповідно,  — центр вписаного кола (інцентр, точка перетину бісектрис),  — центр зовнівписаного кола (точка перетину внутрішньої та двох зовнішніх бісектрис).

Нехай  — точка дотику вписаного кола до сторони , а  — точка дотику зовнівписаного кола до продовження сторони . Тоді  — радіус вписаного кола ,  — радіус зовнівписаного кола , і нехай  — півпериметр трикутника ..

З властивостей вписаного та зовнівписаних кіл відомо, що , , , a , причому та .

Звідси маємо, що трикутники та подібні (як прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом ). Тому , тобто . Звідси .

Знайдемо кут . Оскільки  — прямокутний, то . За побудовою  — бісектриса кута (як зовнішній кут), а тому . Звідси .

Але також , оскільки  — бісектриса кута . Отримали, що трикутники та подібні (як прямокутні за рівними гострими кутами). Тому , тобто . Звідси .

З рівностей одержимо, що . Замінивши по вище доведеній формулі , одержимо остаточно , або, що те саме, .

Варіації й узагальнення[ред. | ред. код]

  • Формулу Герона можна записати за допомогою визначника у вигляді[1]:
Перший визначник останньої формули є окремим випадком визначника Келі — Менгера[en] для обчислення гіпероб'єму симплекса.
  • Низка формул для площі трикутника подібні за структурою до формули Герона, але виражається через інші параметри трикутника. Наприклад, через довжини медіан , и і їх півсуму [2]:
;
через довжини висот , и і півсуму їх обернених величин [3]:
;
через кут трикутника , і , півсуму їх синусів і діаметр описаного кола [4]:

Формула Герона — Тартальї[ред. | ред. код]

Для тетраедрів існує формула Герона — Тартальї, узагальнена також на випадок інших багатогранників (згинаний многогранник): якщо в тетраедра довжини ребер рівні , то для його об'єму істинний вираз:

.

Формулу Герона — Тартальї можна выписати для тетраедра в явному вигляді: якщо , , , , ,  — довжини ребер тетраедра (перші три з них утворюють трикутник; і, наприклад, ребро протлежне ребру і так далі), то справедливі формули[5][6]:

де:
.

Теорема Люїльє[ред. | ред. код]

За теоремою Люїльє площа сферичного трикутника виражається через його сторони как:

,
де  — півпериметр.

Формула Брамагупти[ред. | ред. код]

Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметр p дорівнює

У цьому випадку трикутник виявляється граничним випадком уписаного чотирикутника при прямуванні довжини однієї зі сторін до нуля. Та ж формула Брахмагупти через визначник[7]:

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Weisstein, Eric W. Heron's Formula. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  2. Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.
  3. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
  4. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.
  5. W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1], pp. 16-17.
  6. Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132
  7. Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39

Посилання[ред. | ред. код]