Формула Герона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Трикутник із сторонами a, b й c.

Фо́рмула Геро́на дозволяє визначити площу трикутника за даними довжинами його сторін , і .

, де  — половина периметру трикутника.

Доведення (тригонометричне)[ред.ред. код]

Візьмемо широко відому формулу обчислення площі трикутника: , де  — кут трикутника, що лежить навпроти сторони .

Згідно з теоремою косинусів . Звідси .

Тому

.

Оскільки справедливі рівності , , , , отримуємо, що

Таким чином, .

Доведення (геометричне)[ред.ред. код]

Ілюстрація до доведення формули Герона за допомогою зовнівписаного кола

Нехай дано трикутник , та  — вписане та зовнівписане (яке дотикається до сторони ) коло відповідно,  — центр вписаного кола (інцентр, точка перетину бісектрис),  — центр зовнівписаного кола (точка перетину внутрішньої та двох зовнішніх бісектрис).

Нехай  — точка дотику вписаного кола до сторони , а  — точка дотику зовнівписаного кола до продовження сторони . Тоді  — радіус вписаного кола ,  — радіус зовнівписаного кола , і нехай  — півпериметр трикутника ..

З властивостей вписаного та зовнівписаних кіл відомо, що , , , a , причому та .

Звідси маємо, що трикутники та подібні (як прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом ). Тому , тобто . Звідси .

Знайдемо кут . Оскільки  — прямокутний, то . За побудовою  — бісектриса кута (як зовнішній кут), а тому . Звідси .

Але також , оскільки  — бісектриса кута . Отримали, що трикутники та подібні (як прямокутні за рівними гострими кутами). Тому , тобто . Звідси .

З рівностей одержимо, що . Замінивши по вище доведеній формулі , одержимо остаточно , або, що те саме, .

Формула Брамагупти[ред.ред. код]

Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметр p дорівнює

Посилання[ред.ред. код]